LINGUAGGIO E ARGOMENTAZIONE NELLA SCUOLA MEDIA

DAGLI STUDENTI

esperienza 1

Prima consegna (lavoro individuale)

L’insegnante ti propone il seguente gioco: “Pensa a un numero, moltiplicalo per due, aggiungi cinque, togli il numero che hai pensato, aggiungi otto, togli due, togli il numero che hai pensato, togli uno”. Secondo te, è possibile che l’insegnante, pur non conoscendo il numero che tu hai pensato, indovini il tuo risultato? Se sí, in quale modo?

Si rilevano alcune difficoltà legate a una lettura affrettata della consegna. Alcuni alunni eseguono i passaggi e si fermano una volta arrivati al risultato, senza cogliere che la richiesta è quella di pronunciarsi sulla possibilità per l’insegnante di indovinare il risultato.

Interventi puntuali dell’insegnante e dell’osservatrice mirano a far riflettere sull’effettiva consegna.

Alcuni alunni sbagliano ad interpretare la consegna (problema legato forse a una lettura affrettata del testo) e si pronunciano sulla possibilità, per l’insegnante, di indovinare il numero di partenza a partire dal risultato.

Si riportano alcuni estratti dai protocolli di risoluzione individuale:

C: scrive errata la consegna

A: non scrive nulla

V e C e F: rispondono no, senza motivare

M: “se io dico il risultato poi rifacendo i calcoli possono riuscire a dire il numero che ho pensato”.

T: “sí,perché si tratta di un procedimento matematico che , per via di esso, per tutti i numeri vale lo stesso risultato. Il fattore che lo determina è” togli il numero che hai pensato”

To: “sí, perché basta fare i calcoli senza contare il numero che hai pensato. L’ho capito facendo l’esercizio”

G: “sí , perché alla fine trovi sempre 11- 1”

La maggior parte degli alunni ( 15 su 6 ), dopo aver eseguito alcune prove numeriche (in alcuni casi non documentate), conclude che l’insegnante può facilmente indovinare, dal momento che il risultato è sempre 10. Questi studenti non si limitano a constatare la regolarità attraverso prove numeriche, sono anche in grado di fornire (tentativi di) spiegazione.

Si può notare che andare al di là della constatazione dell’invarianza del risultato costituisce già un ragionamento avanzato, soprattutto tenendo conto del fatto che il testo in sé non richiedeva una spiegazione in tal senso. Alla domanda “secondo te l’insegnante può indovinare il risultato”, è lecito rispondere “sí, perché il risultato non cambia, qualsiasi sia il numero pensato”, senza poi porsi il problema di spiegare perché il risultato non varia!

Seconda consegna:

Pensi che sia un mago l’insegnante che ha indovinato il risultato che avete ottenuto ? Scrivi sotto forma di espressione la sequenza dei calcoli del gioco, utilizzando un colore diverso per il numero pensato. Prova a scrivere una espressione che vada bene per qualsiasi numero abbiate pensato. 

Tutti gli studenti rispondono “no” alla prima domanda, ma solo alcuni illustrano le ragioni della risposta. Si può osservare che probabilmente a questo punto la domanda suona quasi superflua, dal momento che si è già discusso collettivamente sulle ragioni per cui il risultato non cambia. Risulterà interessante, in fase di condivisione, introdurre il discorso sull’utilità dell’espressione come rappresentazione che fa cogliere ancora meglio le ragioni per cui il risultato non cambia.

Si può osservare che di fatto alla domanda “pensi che l’insegnante sia un mago?” si può rispondere con due livelli di motivazioni: a un primo livello, è sufficiente rispondere che l’insegnante non è un mago perché il risultato non cambia; a un secondo livello, si cerca anche di spiegare perché il risultato del gioco non cambia. Si riportano alcune produzioni individuali.

G: “No, perché il numero pensato, di qualsiasi tipo esso sia, non cambia il risultato di quanto richiesto”.

T: “no, perché il risultato non è variato dal numero pensato.

O: no, perché il risultato è sempre 10. Quindi si sa anche senza sapere il numero pensato”.

Più problematiche le altre due domande.

Per quanto riguarda la seconda domanda, alcuni studenti, anziché scrivere un’espressione, scrivono la sequenza di operazioni, in colonna, realizzando quella che nel seguito chiameremo una rappresentazione procedurale del gioco. In alcuni casi gli studenti scrivono sequenze ibride, in cui le diverse operazioni sono separate dal segno di uguale, che però perde il significato di equivalenza tra primo e secondo membro. Si riporta un esempio di rappresentazione procedurale del gioco, due esempi di espressione “vera” e uno di ibrida .

To:

100 x 2 = 200

200 + 5 = 205

205 - 100 = 105

105 + 8 = 113

113 - 2 = 111

111 - 100 = 11

11 - 1 = 10

R: 7 x 2 + 5 - 7 + 8 - 2 - 7 - 1 = 10

G. : {[(60 x 2 + 5) – 60] + 8 – 2} – 60 – 1

Mu. : 4 x 2 = 20 + 5 = 25 - 4 = 15 + 8 = 23 - 2 = 21 - 4 = 11 - 1 = 10

Per quanto riguarda la terza domanda, non tutti gli studenti, forse ancora una volta a causa di una lettura affrettata del testo, sembrano cogliere la differenza con la richiesta della domanda precedente (non colgono che questa volta si richiede loro di scrivere un’espressione che vada bene per qualsiasi numero). Chi comprende il senso della terza richiesta propone di rappresentare il numero pensato con una lettera (N, oppure A), oppure con un punto interrogativo, una nuvoletta, l’intera locuzione “numero pensato”. Si consideri, per esempio, l’espressione proposta da Ric:

n x 2 + 5 - n + 8 - 2 - n - 1 = 10

Si segnala anche la proposta di Tor, che realizza una rappresentazione procedurale: Tor scrive la sequenza di operazioni, in cui il numero pensato è indicato con n, ed il risultato di ogni operazione è nuovamente indicato con n. La lettera n ha per l’alunno il significato di “numero che ancora non conosco”, non c’è la consapevolezza del fatto che lettera uguale deve indicare numero uguale .

To:

n x 2 = n

n + 5 = n

n - n = n

n + 8 = n

n - 2 = n

n - n = n

n - 1 = 10

Alcuni di coloro che avevano scritto una sequenza di tipo ibrido anche nella generalizzazione usano lo stesso tipo di rappresentazione:

Al. : n x 2 = 20 + 5 = 25 - n = 15 + 8 = 23 - 2 = 21 - n = 11 - 1 = 10

Nella successiva discussione di bilancio, gli alunni sono invitati a presentare le diverse espressioni create individualmente. Si identificano due classi di rappresentazioni, che la classe d’ora in avanti chiamerà “modalità”: la modalità Ric, ovvero l’espressione contenente la lettera n (rappresentazione di tipo relazionale), e la modalità Tor, rappresentazione di tipo procedurale (Tor è il solo a utilizzare la rappresentazione procedurale). Durante la discussione collettiva, alcuni alunni propongono di modificare la rappresentazione procedurale scritta da Tor, indicando ogni risultato intermedio con una lettera diversa. Tale correzione sarà fatta formalmente alla lavagna nel corso della sessione successiva. Si noti che, una volta inserite lettere diverse, anche la modalità Tor diviene una rappresentazione corretta del gioco.

L’insegnante riassume alla lavagna le diverse proposte; la lezione termina con una domanda, a cui gli alunni devono rispondere per la sessione successiva: quale tra le espressioni proposte sarebbe scelta da un matematico? “A caldo”, alcuni alunni scelgono la modalità Tor, in cui il numero pensato è indicato con la lettera n. Il confronto tra le due modalità è ripreso nella sessione successiva.