STAGES 2013: RELAZIONE |
questionari degli studenti |
Ai ragazzi vengono proposti alcuni problemi statistici da risolvere utilizzando il software statistico MINITAB.
In particolare si porta gli studenti a riflettere su:
-) gli indici di centralità, partendo dalla frase "La maggior parte degli automobilisti sostiene di guidare meglio della media";
-) i percentili, analizzando i dati riguardanti i bambini della Giordania raccolti dall'organizzazione non governativa Medchild.
Infine si introduce uno strumento più complesso di classificazione e rappresentazione dati: la cluster analysis.
1) | Abbiamo chiesto agli studenti di individuare una relazione fra vertici, spigoli e facce di un solido convesso, facendoli arrivare alla formula di Eulero. |
2) | Formalizzazione del problema: prime nozioni di teoria dei grafi e primi esempi di grafi, nozione di grafo semplice,
di grafo piano e planare e di facce di un grafo piano. Equivalenza del Teorema di Eulero per solidi convessi con l'analogo teorema per grafi piani. |
3) | Definizione di ciclo, di albero e di grafo duale di un grafo piano. Dimostrazione del Teorema di Eulero per grafi piani. |
4) | Problema della colorazione di cartine geografiche: facendo colorare certe cartine agli studenti li abbiamo convinti che 4 colori sono sempre sufficienti (in realtà uno già lo sapeva!). Gli abbiamo anche fatto dimostrare che 4 colori sono necessari per colorare certe cartine. |
5) | Cenni storici al Teorema dei 4 colori. |
6) | Definizione di k-colorabilità di un grafo e spiegazione del fatto che dimostrare il teorema dei 4 colori equivale a dimostrare che un grafo piano è 4-colorabile. |
7) | Definizione di grado locale. Facendo costruire diversi tipi di grafi abbiamo fatto dedurre agli studenti il teorema che lega la somma dei gradi locali con
il numero degli archi di un grafo. Analogamente gli abbiamo fatto capire il legame fra somma del numero di lati che delimitano una faccia e il numero degli archi.
Usando quest'ultimo fatto e il Teorema di Eulero, abbiamo dimostrato che il grafo completo su 5 vertici non è planare e che ogni grafo planare è 6-colorabile. |
8) | Problema del minimo numero di guardiani che servono per sorvegliare un museo con n pareti. Dimostrazione del fatto che [n/3] guardiani bastano sempre, basata sul fatto che certi grafi sono 3-colorabili. Dimostrazione che per certi musei con n pareti non è possible mettere meno di [n/3] pareti. |
Presentazione: il problema della colorazione delle cartine geografiche
-) Laboratorio: tentativi pratici ed elaborazione di una congettura
-) Il Teorema dei 4 colori: enunciato e storia
-) Laboratorio: un controesempio impossibile e un controesempio falso
-) Formalizzazione del problema: la teoria dei grafi
-) Definizione di grafo (semplice) planare
-) Laboratorio: rappresentazione piana di grafici planari
-) Osservazione: K5 non è planare
-) Laboratorio: una relazione numerica fra vertici, archi e facce
-) La formula di Eulero: enunciato e storia
-) Osservazione: la formula di Eulero per tetraedri e cubi
-) Digressione: poliedri convessi
-) Dimostrazione: formula di Eulero per poliedri convessi
-) Digressione: i 5 solidi platonici
-) Due dimostrazioni del teorema di classificazione
-) Digressione: la caratteristica di Eulero
-) Dimostrazione: formula di Eulero per gli alberi
-) Due dimostrazioni della formula di Eulero
-) Lemma: un'altra relazione fra archi e facce
-) Applicazioni: K5 non è planare
-) Laboratorio: disegnare K5 e K3,3 con un solo incrocio, mappe corrispondenti
-) Due corollari: grado massimo e Teorema dei 6 colori (principio di induzione)
-) Un passo in più: il Teorema dei 5 colori
-) Conclusioni: formalismo e creatività in Matematica
L'attività svolta è stata finalizzata alla discussione del concetto di infinito nel contesto matematico.
Si è partiti da un inquadramento storico che richiamasse le due principali posizioni sull'argomento:
infinito potenziale, Gauss, e infinito attuale, Cantor.
La rimanente parte della attività è consistita nella introduzione della necessaria terminologia e dei necessari concetti matematici,
al fine di poter dimostrare alcuni teoremi fondamentali.
L'attività svolta è suddivisibile nelle seguenti fasi, con soluzione di continuità tra di esse:
Prima Fase | Introduzione della terminologia e dei prerequisiti tecnici minimali: insiemi e funzioni principalmente, nonché i numeri naturali con cenni al principio di induzione e alle definizioni per ricorsione. |
Seconda Fase | Discussione del "problema dell'infinito" con introduzione storica: "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze", Galileo 1638, equinumerosità dei numeri naturali con i loro quadrati. Insiemi numerabili e biezioni notevoli: "coda di rondine" in particolare. Teorema di Cantor e argomento diagonale: idea della dimostrazione e dimostrazione formale del teorema attraverso un teorema generale di punto fisso dovuto a F.W. Lawvere. |
L'obiettivo di questa attività è stato quello di far vedere ai ragazzi come utilizzare il concetto di probabilità condizionata,
sottolineandone l'importanza dei test diagnostici in medicina e nelle perizie processuali.
Dopo una introduzione sulla formula di Bayes, i ragazzi sono stati invitati a riflettere assieme su alcuni problemi di probabilità
condizionata (falsi positivi e falsi negativi nel test diagnostico di malattie come HIV). Questi esercizi hanno sottolineato
l'importanza della stima delle probabilità a priori e posteriori. Per capire l'utilizzo erroneo della probabilità, gli studenti
hanno ripercorso in maniera critica le fasi del processo di Sally Clark,
una donna inglese che negli anni novanta fu condannata per aver ucciso i suoi due figli e, in seguito, fu assolta.
L'attività è divisa in due fasi ben distinte:
1. Vengono spiegati agli studenti i seguenti concetti di algebra con dimostrazioni ed esercizi:
a) | Teorema di divisione con resto per i numeri interi. |
b) | Relazioni di equivalenza. Congruenze numeriche. |
c) | Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Teorema di Eulero e la funzione di Eulero, applicazioni. Teorema di Wilson e applicazioni. Teorema del resto cinese e applicazioni. |
d) | Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Teorema di Eulero e la funzione di Eulero, applicazioni. Teorema di Wilson e applicazioni. Teorema del resto cinese e applicazioni. |
e) | Basi di numerazione e cambiamenti di base di numerazione. Operazioni in basi diverse da quella decimale, applicazioni. |
a) | Si ricorda la costruzione ricorrente del Triangolo di Tartaglia-Pascal e si studiano le costruzioni di alcuni frattali di Sierpinski come riproduzione della costruzione del triangolo modulo 2, 3, e altri. |
b) | Si affrontano poi due puzzle matematici la cui soluzione è alquanto sorprendente: (i) un metodo per indovinare un numero pensato che sfrutta la base binaria per i numeri (ii) un metodo per permettere di trasmettere informazione che sfrutta l'aritmetica modulare. In entrambi i casi, la motivazione sorprendente spinge gli studenti a cercare di comprendere più a fondo quanto imparato nella prima fase. |
Il lavoro è svolto in 8 fasi.
1) | Dopo aver brevemente illustrato agli studenti gli scopi dell'attività, viene distribuita a tutti una presentazione su carta del problema, in cui vengono anche descritti 3 esempi di diversa complessità che saranno oggetto delle simulazioni. Si inizia quindi la presentazione su schermo della traccia di svolgimento. |
2) | Partendo dal primo esempio (una ipotetica situazione in cui 5 pagine web sono tra loro collegate), viene introdotto il linguaggio matematico dei grafi che permette una migliore visualizzazione del problema e la generalizzazione ad altre situazioni concrete (come il secondo esempio). |
3) | Si introduce la "passeggiata casuale"; viene mostrato come calcolare ad ogni passo la probabilità che una singola pagina venga visitata. Fissata una pagina di partenza, ad ogni studente si assegna una specifica pagina dell'esempio, su cui avrà il compito di calcolare la rispettiva probabilità a questo punto gli studenti lavorano simultaneamente e si scambiano i risultati, fino a che le probabilità non si stabilizzano ad un valore limite.. |
4) | Si studia la dipendenza del risultato ottenuto dalla pagina di partenza. A tale scopo, ad ogni studente si assegna una diversa configurazione di partenza sulla quale deve calcolare, indipendentemente dagli altri, i valori limite corrispondenti a tutte le pagine. |
5) | Avendo osservato che il valore limite non dipende dal punto di partenza, viene introdotta l'interpretazione matematica dei valori limite, che rappresentano l'importanza delle singole pagine, come soluzioni di un opportuno sistema di equazioni lineari. |
6) | Vengono fornite le istruzioni necessarie per l'implementazione al calcolatore in ambiente Matlab. Ogni studente procede al calcolo delle passeggiate casuali sul secondo esempio (collegamenti ferroviari tra le 11 province della Lombardia) a partire da stazioni diverse. Viene enunciato un teorema di esistenza e unicità dei valori limite; viene quindi descritta la tecnica di "teletrasporto" (dipendente da un parametro) per garantire le ipotesi del teorema. |
7) | Ogni studente implementa la tecnica sul terzo esempio (300 pagine web collegate all'Università di Harvard), selezionando un diverso parametro e confrontando la velocità di convergenza con le scelte degli altri. |
8) | Viene infine discussa la complessità computazionale dei vari metodi (passeggiata casuale, calcolo diretto risolvendo il sistema lineare) con particolare riferimento alla dipendenza dal parametro di teletrasporto, traendone conclusioni e accennando ai problemi aperti della ricerca nel campo. |
Il lavoro è stato svolto in aula e in laboratorio PC.
Aula:
1) | Semplice schematizzazione di un computer e descrizione del problema legato alla finitezza dello spazio per la memorizzazione dei dati usando la virgola mobile (floating point) con t cifre. |
2) | Gli studenti lavorano su semplici problemi (intersezione di rette) volti a sottolineare l'influenza della perturbazione dei dati sul risultato. Segue una breve discussione sugli effetti della memorizzazione dell'input su un numero finito di cifre. |
3) | Semplice descrizione di come vengano effettuate dal computer alcune operazioni aritmetiche utilizzando numeri floating point. |
4) | Gli studenti eseguono operazioni floating point per evidenziare la non validità, in tale contesto, di semplici proprietà aritmetiche quali la proprietà associativa. |
1) | Breve introduzione all'uso di MatLab. |
2) | Gli studenti verificano, utilizzando MatLab, le nozioni introdotte in aula. |
3) | Definizione/descrizione della funzione esponenziale. Discussione sulla possibilità di approssimare tale funzione seguendo diverse strategie a seconda del tipo di esponente. |
L'attività si à svolta in diverse fasi. Gi studenti hanno partecipato attivamente a tutti le fasi, cercando di risolvere i problemi proposti.
Fase 1: | introduzione del concetto di ordinamento su un insieme e descrizione dell'ordinamento di Sharkovski sui numeri naturali |
Fase 2: | gli studenti sono stati invitati a risolvere due problemi apparentemente diversi fra loro e molto semplici da formulare. Gli studenti hanno elaborato delle congetture su possibili soluzioni. |
Fase 3: | formalizzazione degli esempi e introduzione del concetto di sistema dinamico discreto. |
Fase 4: | analisi del comportamento dei sistemi dinamici discreti lineari, con caratterizzazione dei punti di equilibrio. Soluzione dei problemi proposti nella fase 1). |
Fase 5: | esempi di sistemi dinamici non lineari. |
Fase 6: | definizione di orbita finita e caratterizzazione dei punti appartenenti a orbite finite |
Fase 7: | teorema di Sharkovski: enunciato e discussione |
Fase 8: | presentazione qualitativa del sistema dinamico generato dalla funzione logistica: analisi delle orbite caotiche attraverso simulazioni. |
Il lavoro è stato svolto in aula, con l'ausilio di files grafici.
1) | Tipologia delle quantità fisiche: grandezze scalari, vettoriali e oltre. Esempi. |
2) | Il concetto di vettore. Da "modulo, direzione e verso" a "elemento di uno spazio dotato di proprietà". Operazioni tra e con i vettori. Prodotto scalare e prodotto vettore. Componenti di un vettore. Equazioni vettoriali e quantità di informazioni. |
3) | Le leggi di conservazione per sistemi isolati in Meccanica. Quantità di moto. Momento angolare. Energia cinetica. |
4) | Gli urti elastici nel biliardo bidimensionale ideale (o nell'hockey da tavolo). Urto fra biglie: urti diretti centrali e gioco delle palle di Newton; urti centrali obliqui e perpendicolarità delle direzioni di uscita delle biglie. Urto biglia-sponda: angolo di incidenza=angolo di riflessione. |
5) | I tiri del biliardo: tiro ad una sponda "simmetrico"; tiro ad una sponda "asimmetrico"; teoria dei biliardi multipli e tiro ad n sponde. |
6) | Cenni al biliardo tridimensionale ideale: quali proprietà geometriche delle traiettorie si conservano e quali no? |
7) | Cenni al biliardo tridimensionale non ideale: che ruolo giocano gli attriti? |
8) | L'urto stecca-biglia e la magia del gessetto blu: i tiri ad effetto. |
1) | Generalità su curve piane, in particolare spirali. Cenni alla spirale di Archimede ed alla sua approssimazione poligonale più nota: la spirale di Teodoro. La spirale logaritmica o equiangolare: approssimazione con spezzate, proprietà di autosimilarità e congruenza, la "spira mirabilis" di Bernoulli, la spirale aurea. |
2) | Tassellazioni spirali con mattonelle simili. Partendo da spirali poligonali e procedendo per interpolazione è possibile costruire tassellazioni spirali del piano p.es. con triangoli simili ("30-60-90"). Altrimenti si ottengono tassellazioni del tipo richiesto facendo agire la mappa esponenziale del piano complesso in sé su una tassellazione periodica. Si esamina qualche facile esempio. |
3) | Tassellazioni inflative con simmetria radiale. Il procedimento di inflazione, che è una delle caratteristiche dei tilings di Penrose, conduce in modo "naturale" alla costruzione di tassellazioni del piano con simmetria radiale, invarianti per rotazioni di con n dispari. L'esempio n=7 viene svolto nei dettagli. In particolare si riconosce che il problema si riduce a trovare un polinomio intero irriducibile P di grado tre tale che P si spezzi nel prodotto di due analoghi polinomio di grado tre. Si prova che tale procedura funziona anche nei casi n=5,9,11. |
4) | Tassellazioni spirali e successioni ricorsive di numeri interi. Si parte dalla tassellazione (spirale) di rettangoli aurei, legata alla successione dei numeri di Fibonacci, e dalla analoga di triangoli equilateri, legata alla successione dei numeri di Perrin. Qualche nuovo esempio è proposto. |
Scopo dell'attività è affrontare alcuni problemi "non standard"
rispetto a quelli che si incontrano normalmente nella scuola superiore.
Il lavoro si è svolto in un clima di cooperazione, condividendo, discutendo
e perfezionando i risultati parziali via via proposti dai singoli studenti.
Il percorso proposto è il seguente.
1) | Alcuino da York (Regno di Northumbria, 735 - Tours, 19 maggio 804) a) Il problema della jeep (formulazione moderna) |
2) | Leonardo Pisano, detto Fibonacci (Pisa, 1170 - Pisa, 1240) a) I conigli di Fibonacci b) La sequenza di Fibonacci e il rapporto aureo c) La maschera aurea |
3) | Fra' Luca Bartolomeo de Pacioli (Borgo Sansepolcro, 1445 circa - Roma, 19 giugno 1517) a) Divinazione binaria b) Divinazione ternaria c) Il gioco delle 27 carte |
4) | Kazimierz Kuratowski (Varsavia, 2 febbraio 1896 - Varsavia, 18 giugno 1980) a) Le tre case e le tre fonti sul toro |
5) | Piet Hein (Copenaghen, 16 dicembre 1905 - Fionia, 17 aprile 1996) a) Il soma cube |
6) | Lothar Collatz (6 luglio 1910, Arnsberg , Westfalia - 26 settembre 1990, Varna , Bulgaria ) a) Il problema 3n+1 |
L'attività svolta è consistita nella
introduzione al ragionamento logico formale attraverso la discussione di alcune
nozioni fondamentali come quella di negazione, regola di inferenza, dimostrazione
formale, sistema formale, sintassi e semantica, esempio e controesempio.
In particolare, l'attività si è concentrata sulla discussione di alcune
forme di ragionamento logico diagrammatico, cioè supportato da formalismi di
natura prevalentemente iconica, attraverso il confronto con l'usuale ragionamento
logico supportato da un formalismo di natura prevalentemente simbolico-linguistico.
Questo confronto si è basato anche su analogie tratte da altri contesti matematici
come quello tra espressione analitica di una funzione e corrispondente
rappresentazione grafica. Sono stati considerati anche gli aspetti storici legati
allo sviluppo degli argomenti trattati.
L'attività svolta è suddivisibile nelle seguenti fasi, con soluzione di continuità tra di esse.
Prima fase.
Aristotele e la Logica: descrizione del contesto storico-filosofico originale con riferimento
alle problematiche di carattere linguistico-semiotico che hanno portato Artistotele e i membri della sua scuola ad intraprendere un approccio scientifico alla sistemazione della Logica e in essa del ragionamento sillogistico in particolare.
Seconda fase.
Introduzione e discussione critica di alcuni princìpi fondamentali del ragionamento
logico-deduttivo, e di alcune nozioni tecniche utili allo svolgersi della attività,
la cui comprensione è stata facilitata dalla presentazione di esempi pertinenti, con collegamenti storici a diversi contesti della matematica.
Terza fase.
Introduzione al ragionamento diagrammatico, ovvero al calcolo diagrammatico:
discussione formale dei diagrammi di Venn, confronto con altri formalismi
diagrammatici: diagrammi di Eulero e "spicular notation" di Augustus De Morgan, in particolare.
Cenni a formalismi diagrammatici provenienti da altri contesti scientifici:
i diagrammi di Feynman. Introduzione alla teoria del sillogismo categorico,
con motivanti collegamenti
all'informatica. Trattazione medievale di tale teoria e confronto tra l'approccio
Aristotelico originario e quello messo in atto attraverso l'adozione dei
precedenti calcoli diagrammatici. Descrizione di un calcolo diagrammatico di
recente scoperta finalizzato al ragionamento sillogistico.
LĠattività svolta è consistita nell'introduzione al ragionamento logico formale attraverso la discussione
di alcune nozioni fondamentali: negazione, regola di inferenza, dimostrazione formale, sistema formale,
sintassi e semantica, esempio e controesempio. In particolare, si sono discusse le caratteristiche salienti
di alcune forme di ragionamento logico diagrammatico, cioè supportato da formalismi di natura prevalentemente iconica,
attraverso il confronto con l'usuale ragionamento logico supportato da formalismi di natura simbolico-linguistica.
Questo confronto si è basato anche su analogie tratte da altri contesti matematici come quello tra espressione
analitica di una funzione e corrispondente rappresentazione grafica.
Sono stati considerati anche alcuni aspetti legati allo sviluppo storico degli argomenti trattati.
LĠattività svolta è suddivisibile nelle seguenti fasi.
Prima fase: Aristotele e la Logica. Descrizione del contesto
storico-filosofico originale con riferimento alle problematiche di carattere linguistico-semiotico che
hanno portato Artistotele e i membri della sua scuola ad
intraprendere un approccio scientifico alla sistemazione della Logica e in essa del ragionamento sillogistico in particolare.
Seconda fase: Introduzione e discussione critica di alcuni principi fondamentali
del ragionamento logico-deduttivo, e di alcune nozioni tecniche utili allo svolgersi dell'attività,
la cui comprensione è stata facilitata dalla presentazione di esempi pertinenti, con
collegamenti storici a diversi contesti della matematica.
Terza fase: Introduzione al ragionamento diagrammatico, ovvero al calcolo logico diagrammatico:
discussione formale dei diagrammi di Venn, confronto con altri formalismi diagrammatici: diagrammi di
Eulero e "spicular notation" di De Morgan, in particolare. Cenni a formalismi diagrammatici provenienti
da altri contesti scientifici: i diagrammi di Feynman. Introduzione alla teoria del sillogismo categorico,
con motivanti collegamenti all'informatica. Trattazione medievale di tale teoria e confronto tra
l'approccio Aristotelico originario e quello messo in atto attraverso l'adozione dei precedenti calcoli diagrammatici.
Descrizione di un calcolo diagrammatico di recente scoperta finalizzato al ragionamento sillogistico.
L'attività svolta è consistita nella discussione della nozione di infinito, a partire dal più familiare concetto di infinito potenziale per giungere alla più moderna definizione di Cantor. Dopo la presentazione del concetto di infinito potenziale e la discussione di alcune difficoltà di calcolo legate a tale nozione, sono steti introdotti, e commentati, i concetti di insieme e quello di funzione. Di quest'ultimo, in particolare, si è data la definizione formale e si sono discusse le proprietà necessarie per introdurre la definizione di Cantor di insieme infinito. E' stata dimostrata l'equinumerosità di alcuni insiemi infiniti, portando, come aiuto alla comprensione, il celebre esempio dell'albergo di Hilbert. Ha fatto seguito la dimostrazione dell'importante teorema di punto fisso e dei conseguenti corollari di Cantor e Russel. Il lavoro si è concluso discutendo l'esistenza (necessaria) di infiniti di ordine superiore a quello dell'insieme dei numeri naturali.