STAGES 2009: RELAZIONE

questionari degli studenti








Applicazioni della statistica
Maria Piera Rogantin

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

Ai ragazzi vengono proposti alcuni problemi statistici da risolvere utilizzando il software statistico MINITAB. In particolare si porta gli studenti a riflettere su:
-) gli indici di centralità, partendo dalla frase "La maggior parte degli automobilisti sostiene di guidare meglio della media";
-) i percentili, analizzando i dati riguardanti i bambini della Giordania raccolti dall'organizzazione non governativa Medchild.
Infine si introduce uno strumento più complesso di classificazione e rappresentazione dati: la cluster analysis.



Compressione dati
Carlo Mazza

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

Iniziamo con una brevissima panoramica della compressione dei dati e in particolare della divisione fra compressione lossless e lossy. Ci concentriamo poi sulla compressione lossess e cerchiamo di formalizzare questo concetto. Si inizia quindi a pensare a inisiemi di file e a funzioni fra insiemi. Come primo esercizio si calcola assieme la cardinalità degli insiemi dei file di lunghezza fissata N e di lunghezza al più N usando l'induzione e il calcolo diretto. Si continua nella formalizzazione del problema e si riconosce che la proprieta' "lossless" è equivalente all'iniettività dell'applicazione fra gli insiemi dei file. Si enuncia il teorema che non esiste la compressione perfetta: non esiste una funzione iniettiva che non faccia aumentare la lunghezza di alcun file ma che ne accorci almeno uno. Si dimostra per assurdo e con un argomento computazionale usando il principio di Dirichlet, o principio dei cassetti. Dopo aver riflettuto sulle conseguenze di tale teorema, si espongono due tecniche basilari di compressione lossless quali RLE e i codici Huffman. Si introducono quindi gli alberi utilizzati nei codici Huffman e tramite esempi si mostra come questi due metodi siano efficaci su casi diversi, ma possono anche aumentare la dimensione in casi particolari, il che è perfettamente in accordo con il teorema dimostrato prima.

Nell'ultima parte della lezione mostriamo degli esempi concreti di compressione lossy, quali immagini compresse via PNG/JPEG/JPEG2000, video MPEG4 Part2/MPEG4 Part10 e audio MP3/AAC al fine di mostrare gli effetti pratici dei diversi livelli e metodi di compressione. In particolare, si effettua un double-blind test con gli studenti per imparare a riconoscere i due tipi di compressione audio proposti.



Errori e calcolatore
Paola Brianzi

Prerequisiti: soluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite, equazione della retta, concetto di integrale definito.

Materiale:presentazione

Descrizione:

Il lavoro è stato svolto in laboratorio PC. Lo scopo è illustrare come nel calcolo scientifico non si possa prescindere dallo studio degli errori sui dati e della loro propagazione.

1) Si ricorda che il calcolatore rappresenta tutti i numeri in aritmetica finita (cioè con un numero finito di cifre ) in base 2 e questo comporta un errore nella rappresentazione dei dati la cui amplificazione durante lo svolgimento dei calcoli va controllata. Viene illustrato il drammatico esempio del missile Patriot che il 25 febbraio 1991, durante la prima Guerra del Golfo, fallì l'intercettazione di un missile Scud iracheno procurando la morte di 28 soldati, un centinaio di feriti e la distruzione di un capannone americano proprio a causa della propagazione degli errori di arrotondamento nella conversione del tempo che, col passare delle ore, crearono l'errore nel calcolo della traiettoria del missile.
2) Breve introduzione all'uso del linguaggio MatLab
3) Gli studenti provano a risolvere con l'utilizzo del linguaggio MatLab il problema di trovare il punto di intersezione di due rette anche con visualizzazione grafica. Vengono proposti esempi per i quali la perturbazione dei dati influisce in modo molto diverso sul risultato e si introduce il concetto di condizionamento di un sistema lineare .
4) Si illustra il problema dell'approssimazione nel senso dei minimi quadrati di un insieme di dati e si calcola la retta di regressione con l'utilizzo del MatLab.
4) Viene infine descritto il problema dei minimi quadrati per dati continui e, ricollegandosi con quanto visto al punto 3), si propone un esempio la cui soluzione porta a risolvere un sistema lineare molto mal condizionato.



Formula di Bayes e i test diagnostici
Vincenzo Fontana - Maria Piera Rogantin - Laura Boni - Laura Maggi

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

L'obiettivo di questa attività è stato quello di far vedere ai ragazzi come utilizzare il concetto di probabilità condizionata, sottolineandone l'importanza dei test diagnostici in medicina e nelle perizie processuali.
Dopo una introduzione sulla formula di Bayes, i ragazzi sono stati invitati a riflettere assieme su alcuni problemi di probabilità condizionata (falsi positivi e falsi negativi nel test diagnostico di malattie come HIV). Questi esercizi hanno sottolineato l'importanza della stima delle probabilità a priori e posteriori. Per capire l'utilizzo erroneo della probabilità, gli studenti hanno ripercorso in maniera critica le fasi del processo di Sally Clark, una donna inglese che negli anni novanta fu condannata per aver ucciso i suoi due figli e, in seguito, fu assolta.



Gare di sprint
Vincenza Del Prete

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

L'attività svolta consiste nella presentazione, discussione e verifica di un modello proposto da J.B. Keller nel 1973 per la velocità di un atleta in una corsa di 100 metri su tratto rettilineo (sprint). Il modello consiste in una equazione differenziale del primo ordine a coefficienti costanti che ha per incognita la velocità. I coefficienti dipendono da due parametri, i cui valori, stabiliti da Keller sperimentalmente nel 1973, sono caratteristici dall'atleta. Il lavoro consiste nel verificare l'attualità di questi parametri sulla base dei risultati dei campionati mondiali degli ultimi anni e nel proporre parametri adeguati ai campioni di oggi. Agli studenti è inizialmente richiesto di risolvere l'equazione diffrenziale di Keller mediante una integrazione e di usare il computer per fare un grafico della velocità, dell'accelerazione e della legge oraria del moto. Successivamente viene chiesto loro trovare parametri più attuali di quelli di Keller utilizzando i risultati di gare olimpioniche recenti. Questo confronto ha permesso di ottenere nuovi parametri e dunque un modello più attuale di quello proposto da Keller. La tecnica usata richiede la conoscenza di un metodo numerico per la ricerca degli zeri di una funzione, argomento che hanno svolto il giorno precedente. Il ogni coppia di studenti ha avuto a disposizione un computer. Il linguaggio usato è il Matlab, che gli studenti non conoscevano. Sui loro computer gli studenti hanno trovato un programma che ha suggerito la sintassi da usare ad ogni passo. Come attività conclusiva gli studenti hanno affrontato e risolto un problema analogo in piena autonomia.



Giochi matematici
Mihaela Badescu - Giuseppe Rosolini

Prerequisiti: nessuno

Materiale:Dispense di Algebra (Prof. Mihaela Badescu)

Descrizione:

L'attività è divisa in due fasi ben distinte:

1. Vengono spiegati agli studenti i seguenti concetti di algebra con dimostrazioni ed esercizi:

a) Teorema di divisione con resto per i numeri interi.
b) Relazioni di equivalenza. Congruenze numeriche.
c) Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Teorema di Eulero e la funzione di Eulero, applicazioni. Teorema di Wilson e applicazioni. Teorema del resto cinese e applicazioni.
d) Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Teorema di Eulero e la funzione di Eulero, applicazioni. Teorema di Wilson e applicazioni. Teorema del resto cinese e applicazioni.
e) Basi di numerazione e cambiamenti di base di numerazione. Operazioni in basi diverse da quella decimale, applicazioni.

2. Si mostra agli studenti come ciò che hanno imparato può essere usato. Si discutono inoltre le soluzioni da loro proposte per trovarne di migliori.

a) Si ricorda la costruzione ricorrente del Triangolo di Tartaglia-Pascal e si studiano le costruzioni di alcuni frattali di Sierpinski come riproduzione della costruzione del triangolo modulo 2, 3, e altri.
b) Si affrontano poi due puzzle matematici la cui soluzione è alquanto sorprendente:
(i) un metodo per indovinare un numero pensato che sfrutta la base binaria per i numeri
(ii) un metodo per permettere di trasmettere informazione che sfrutta l'aritmetica modulare.

In entrambi i casi, la motivazione sorprendente spinge gli studenti a cercare di comprendere più a fondo quanto imparato nella prima fase.



Google: come la matematica può far diventare ricchi
Fabio Di Benedetto

Prerequisiti: conoscenza di base del concetto di probabilità capacità di risolvere sistemi di equazioni di primo grado.

Materiale:
D.Bini, Matematica e Mondo Reale: il problema di Google e altre storie
Presentazione dell'attività ed esempi
Traccia di svolgimento delle varie fasi

Descrizione:

Il lavoro è svolto in 8 fasi.

1) Dopo aver brevemente illustrato agli studenti gli scopi dell'attività, viene distribuita a tutti una presentazione su carta del problema, in cui vengono anche descritti 3 esempi di diversa complessità che saranno oggetto delle simulazioni. Si inizia quindi la presentazione su schermo della traccia di svolgimento.
2) Partendo dal primo esempio (una ipotetica situazione in cui 5 pagine web sono tra loro collegate), viene introdotto il linguaggio matematico dei grafi che permette una migliore visualizzazione del problema e la generalizzazione ad altre situazioni concrete (come il secondo esempio).
3) Si introduce la "passeggiata casuale"; viene mostrato come calcolare ad ogni passo la probabilità che una singola pagina venga visitata. Fissata una pagina di partenza, ad ogni studente si assegna una specifica pagina dell'esempio, su cui avrà il compito di calcolare la rispettiva probabilità a questo punto gli studenti lavorano simultaneamente e si scambiano i risultati, fino a che le probabilità non si stabilizzano ad un valore limite..
4) Si studia la dipendenza del risultato ottenuto dalla pagina di partenza. A tale scopo, ad ogni studente si assegna una diversa configurazione di partenza sulla quale deve calcolare, indipendentemente dagli altri, i valori limite corrispondenti a tutte le pagine.
5) Avendo osservato che il valore limite non dipende dal punto di partenza, viene introdotta l'interpretazione matematica dei valori limite, che rappresentano l'importanza delle singole pagine, come soluzioni di un opportuno sistema di equazioni lineari.
6) Vengono fornite le istruzioni necessarie per l'implementazione al calcolatore in ambiente Matlab. Ogni studente procede al calcolo delle passeggiate casuali sul secondo esempio (collegamenti ferroviari tra le 11 province della Lombardia) a partire da stazioni diverse. Viene enunciato un teorema di esistenza e unicità dei valori limite; viene quindi descritta la tecnica di "teletrasporto" (dipendente da un parametro) per garantire le ipotesi del teorema.
7) Ogni studente implementa la tecnica sul terzo esempio (300 pagine web collegate all'Università di Harvard), selezionando un diverso parametro e confrontando la velocità di convergenza con le scelte degli altri.
8) Viene infine discussa la complessità computazionale dei vari metodi (passeggiata casuale, calcolo diretto risolvendo il sistema lineare) con particolare riferimento alla dipendenza dal parametro di teletrasporto, traendone conclusioni e accennando ai problemi aperti della ricerca nel campo.



Il computer e la matematica: una relazione burrascosa
Claudia Fassino - Giulio Ferrari

Prerequisiti: soluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite - il concetto di retta in geometria analitica.

Descrizione:

Il lavoro è stato svolto in aula e in laboratorio PC.
Aula:

1) Semplice schematizzazione di un computer e descrizione del problema legato alla finitezza dello spazio per la memorizzazione dei dati usando la virgola mobile (floating point) con t cifre.
2) Gli studenti lavorano su semplici problemi (intersezione di rette) volti a sottolineare l'influenza della perturbazione dei dati sul risultato. Segue una breve discussione sugli effetti della memorizzazione dell'input su un numero finito di cifre.
3) Semplice descrizione di come vengano effettuate dal computer alcune operazioni aritmetiche utilizzando numeri floating point.
4) Gli studenti eseguono operazioni floating point per evidenziare la non validità, in tale contesto, di semplici proprietà aritmetiche quali la proprietà associativa.

Laboratorio:
1) Breve introduzione all'uso di MatLab.
2) Gli studenti verificano, utilizzando MatLab, le nozioni introdotte in aula.
3) Definizione/descrizione della funzione esponenziale. Discussione sulla possibilità di approssimare tale funzione seguendo diverse strategie a seconda del tipo di esponente.



Il gioco della logica
Ruggero Pagnan, Nicola Rebagliati

Prerequisiti: Nessun particolare tipo di prerequisito è necessario per comprendere a pieno i contenuti della lezione. Sono sufficienti una normale dimestichezza nell'utilizzo del linguaggio naturale e una certa propensione al ragionamento logico-deduttivo, come derivano dal loro utilizzo nella quotidianità.

Descrizione:

L'attività è stata suddivisa in due fasi distinte che hanno richiesto complessivamente un'ora e mezza di tempo per il loro compimento. Nella prima fase si è discusso il ragionamento sillogistico attraverso l'utilizzo del linguaggio naturale, prescindendo completamente da una sua trattazione formale. Nella seconda fase si è mostrato il principio di funzionamento della Tomografia Assiale Computerizzata (TAC), introducendolo attraverso il parallelismo esistente tra esso e il metodo di risoluzione di un gioco logico.

Prima fase:
Questa fase ha preso avvio da alcune brevi considerazioni di carattere biografico intorno a Lewis Carroll, autore di "Alice nel Paese delle Meraviglie", volte a sottolineare la complessità del personaggio nell'ambito dell'età vittoriana, soprattutto per quel che concerne la sua concezione non ortodossa della funzione pedagogica della letteratura per l'infanzia, che lo ha portato, tra le altre cose, a scrivere il libro "Il gioco della logica", con l'esplicito intento di introdurre i bambini al ragionamento logico corretto attraverso l'analisi di argomentazioni sillogistiche. E' infatti meno noto il fatto che Carroll fosse docente di matematica presso il Christ Church College di Oxford. Inoltre, si è fatto riferimento ad Aristotele come al vero artefice di una teoria matematica del sillogismo, per arrivare quindi alla discussione delle quattro possibili classi di proposizioni categoriche e alla discussione della nozione di sillogismo in funzione di esse. La parte più importante della lezione è consistita nella analisi di alcuni esempi concreti di sillogismi scritti nel linguaggio naturale le cui sfumature e ambiguità sono state utilizzate per di rendere più accattivanti gli esempi, richiedendo in particolare lo sforzo di astrazione necessario affinché dietro ad una argomentazione apparentemente sensata dal punto di vista dell'intendere comune si rivelasse di fatto non corretta dal punto di vista della argomentazione logica soggiacente. La verifica o confutazione di un particolare sillogismo è stata effettuata in modo ostensivo, vale a dire attraverso la materiale costruzione di "universi" che con evidenza di fatto supportassero o meno il ragionamento in analisi. Ciò è stato possibile tramite l'utilizzo di un "cubo risolutore di sillogismi", cioè un piccolo cubo suddiviso in zone colorate che opportunamente manipolato permette di rappresentare materialmente il sillogismo e confermarne o confutarne la validità. I partecipanti sono stati direttamente coinvolti nell'utilizzo di tale strumento e ciò ha consentito loro di comprendere, almeno intuitivamente, la nozione di dimostrazione.

Seconda fase:
Dopo aver visto il ragionamento sillogistico abbiamo mostrato come argomentazioni logiche più semplici possono portare allo sviluppo di tecnologie come la TAC. Abbiamo proposto un gioco in cui si può ricavare un'informazione interessante ma nascosta attraverso una fonte di informazione esplicita ma indiretta. Nel caso specifico, abbiamo mostrato come si possa ottenere informazione corretta attraverso la correzione degli errori tramite l'utilizzo dei bit di parità. Il passaggio alla TAC è stato proposto senza fare riferimento agli integrali di linea ma lavorando in un caso discreto con delle somme su una matrice sconosciuta, conoscendo abbastanza somme di "linea" della matrice si possono ricavare i suoi valori. I partecipanti si sono mostrati interessati partecipando al gioco e formulando domande.



Il problema della colorazione delle cartine geografiche
Laura Torrente

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

L'attività si articola nelle fasi seguenti:

1) Introduzione al problema della colorazione di una cartina geografica in modo minimale. Attività collettiva: prove di colorazione di cartine con un minimo numero di colori, costruzione di cartine da parte degli studenti, congetture sul minimo numero di colori necessari, identificazione di eventuali problemi.
2) Enunciato del problema e cenni storici. Si pone particolare attenzione alla differenza tra i concetti di congettura e dimostrazione.
3) Formalizzazione del problema, introduzione alla teoria dei grafi. Enunciato del Teorema dei quattro colori; enunciato e dimostrazione del Teorema dei sei colori.
4) Come generare tutte le possibili 3-colorazioni di un grafo avente numero cromatico 3; formalizzazione e calcolo su due esempi proposti (il secondo esempio viene proposto come lavoro per gli studenti).
5) Introduzione al sistema di calcolo simbolico CoCoA con esempi. Risoluzione effettiva mediante l'utilizzo di CoCoA del problema e degli esempi del punto 4.



Introduzione ai sistemi dinamici discreti
Silvia Villa

Prerequisiti: Per partecipare a questa attività è necessaria soltanto una conoscenza del concetto di funzione e di grafico di una funzione di una variabile. .

Materiale:
J. Gleick, Caos. La nascita di una nuova scienza, Biblioteca Universale Rizzoli, 2000
E. Salinelli e F. Tomarelli, Modelli Dinamici Discreti, Springer Verlag 2008
I. Stewart, Dio gioca a dadi?, Bollati Boringhieri 1980

Descrizione:

L'attività si è svolta in diverse fasi. Gi studenti hanno partecipato attivamente a tutti le fasi, cercando di risolvere i problemi proposti.

Fase 1: gli studenti sono stati invitati a risolvere due problemi apparentemente diversi fra loro e molto semplici da formulare. Gli studenti hanno elaborato delle congetture su possibili soluzioni

Fase 2: formalizzazione degli esempi e introduzione del concetto di sistema dinamico discreto.

Fase 3: analisi del comportamento dei sistemi dinamici discreti lineari, con caratterizzazione dei punti di equilibrio. Soluzione dei problemi proposti nella fase 1).

Fase 4: esempi di sistemi dinamici non lineari e analisi del loro comportamento, con dimostrazione dell'esistenza dei punti di equilibrio.

Fase 5: presentazione qualitativa del sistema dinamico generato dalla funzione logistica: analisi delle orbite caotiche e teorema di Sharkovsky.



La matematica nella tecnologia: compressione e ricostruzione di segnali e immagini
Claudio Estatico

Prerequisiti: conoscenza del concetto di integrale definito (non occorre saper far calcoli)

Descrizione:

Le tematiche affrontate spaziano dalla ricostruzione di immagini alla compressione di segnali audio e video. Tali tecniche sono alla base, ad esempio, dei programmi commerciali che permettono di ripulire una fotografia mossa e sfocata, e delle tecnologie JPEG, MP3 ed MP4 per la compressione di musica e video, largamente utilizzate proprio dai giovani. L'attività viene interamente svolta nei laboratori informatici, utilizzando al calcolatore semplici programmi Matlab sviluppati dal docente.

L'attività è stata svolta in 2 fasi:

1) Nella prima fase è stato affrontato il problema della ricostruzione di immagini. Dopo una breve presentazione del modello matematico alla base del problema, gli studenti sono stati invitati a migliorare l'aspetto di alcune fotografie mosse e sfocate, simulando l'attività svolta, ad esempio, dalla polizia scientifica. Poichè il problema della ricostruzione di immagini è di carattere lineare, esso richiede la risoluzione di un sistema lineare. È interessante notare che lo strumento matematico di base, ossia la risoluzione di sistemi lineari, rientra tra le competenze classiche degli studenti, in quanto già visto nel loro percorso di studi. Ciò che cambia è esclusivamente la dimensione del sistema in esame, che ora contempla milioni di equazioni ed incognite, ed il calcolatore diventa quindi il necessario supporto all'effettiva risoluzione del problema.
2) Nella seconda fase sono state presentate le due differenti tipologie di compressione, con e senza perdita di informazioni, con particolare attenzione alla prima tipologia. L'approccio teorico all'argomento è stato affrontato con una brevissima ed elementare introduzione all'analisi e sintesi di funzioni basata sulla serie di Fourier, tale da non richiedere particolari prerequisiti. Successivamente gli studenti sono stati coinvolti in una simulazione di compressione di segnali e immagini, utilizzando nuovamente semplici programmi al calcolatore.



Le leggi di conservazione in meccanica e la geometria del biliardo 
Stefano Pasquero

Prerequisiti: il concetto di vettore - concetti di base di Fisica (velocità, forza...).

Descrizione:

Il lavoro è stato svolto in aula, con l'ausilio di files grafici.

1) Tipologia delle quantità fisiche: grandezze scalari, vettoriali e oltre. Esempi.
2) Il concetto di vettore. Da "modulo, direzione e verso" a "elemento di uno spazio dotato di proprietà". Operazioni tra e con i vettori. Prodotto scalare e prodotto vettore. Componenti di un vettore. Equazioni vettoriali e quantità di informazioni.
3) Le leggi di conservazione per sistemi isolati in Meccanica. Quantità di moto. Momento angolare. Energia cinetica.
4) Gli urti elastici nel biliardo bidimensionale ideale (o nell'hockey da tavolo). Urto fra biglie: urti diretti centrali e gioco delle palle di Newton; urti centrali obliqui e perpendicolarità delle direzioni di uscita delle biglie. Urto biglia-sponda: angolo di incidenza=angolo di riflessione.
5) I tiri del biliardo: tiro ad una sponda "simmetrico"; tiro ad una sponda "asimmetrico"; teoria dei biliardi multipli e tiro ad n sponde.
6) Cenni al biliardo tridimensionale ideale: quali proprietà geometriche delle traiettorie si conservano e quali no?
7) Cenni al biliardo tridimensionale non ideale: che ruolo giocano gli attriti?
8) L'urto stecca-biglia e la magia del gessetto blu: i tiri ad effetto.



Neuroscienze e medicina coi sistemi lineari
Massimo Brignone e Cristina Campi

Prerequisiti: funzioni e sistemi di equazioni lineari.

Descrizione:

L'attività è stata articolata in due parti: al mattino, dopo la presentazione di alcuni esempi di sistemi lineari, è stato spiegato agli studenti cosa sono le matrici e come è possibile operare su di esse (somma e prodotto per scalare, prodotto tra matrici). stato fatto notare come un sistema lineare può essere scritto come prodotto di matrici. Si è poi spiegato come il passaggio alla notazione matriciale permette di risolvere facilmente un sistema lineare, introducendo il concetto di matrice inversa. Dopo alcuni esperimenti numerici di risoluzione di sistemi lineari al calcolatore utilizzando il programma MatLab, gli studenti hanno scoperto l'esistenza di matrici mal condizionate. Dopo questa esperienza diretta col mal condizionamento è stata proposta agli studenti una soluzione: la teoria della regolarizzazione. stato spiegato il metodo di Landweber e applicato numericamente con successo sempre grazie all'ausilio del pc.

La seconda parte dell'attività si è svolta nel pomeriggio: sono stati presentati agli studenti due problemi reali di difficile soluzione (un problema di ricostruzioni di sorgenti neurali in magnetoencefalografia e un problema di scattering) e per ognuno di essi è stato spiegato come è possibile descrivere il modello fisico in termini lineari. Si è sottolineato come questi problemi siano, oltre che mal condizionati, anche mal posti secondo la definizione di Hadamard. Si è quindi conclusa l'attività con un accenno alle tecniche di regolarizzazione più sofisticate necessarie per trovare la soluzione nei problemi reali presentati.



Problemi e congetture in aritmetica
Maria Evelina Rossi

Prerequisiti: numeri interi e divisione euclidea.

Descrizione:

La scelta di svolgere l'attività di laboratorio nell'ambito dell'aritmetica è dovuta al fatto che in tale campo è necessaria solo una minima formalizzazione per trovare un linguaggio simbolico condiviso da tutti. Una breve introduzione storico-culturale ad alcune problematiche classiche ha lo scopo di fare rilevare un aspetto accattivante della matematica: quanto sia facile passare da problemi semplici a congetture che resistono nei secoli. Altro obiettivo è quello di trasmettere quanto la precisione e la capacita' di formalizzare siano qualità irrinunciabili del matematico. L'attività proposta agli studenti si è basata su problemi alla loro portata, ma sui quali è stato possibile discutere, collaborare, proporre diverse vie dimostrative, confutare asserzioni, estendere risultati a casi più generali.

L'attività è caratterizzata dal susseguirsi di 5 fasi:
Fase 1. Introduzione di un problema classico dal punto di vista storico e matematico.
Fase 2. Introduzione di concetti teorici che permettono di attaccare il problema almeno in casi particolari e la dimostrazione di un risultato significativo (ma semplice) in tale ambito.
Fase 3. Discussione con gli studenti su eventuali estensioni o diverse dimostrazioni del risultato presentato.
Fase 4. Formulazione di un problema proposto agli studenti per il quale possa risultare utile la linea dimostrativa di cui al punto 2.
Fase 5. Analisi delle soluzioni proposte dagli studenti.

Una traccia del lavoro svolto:
Partendo dalla struttura dei numeri interi, dalla divisione euclidea e dalla fattorizzazione unica in fattori primi, sono state presentate, oltre alla dimostrazione dell'infinità dei numeri primi, anche l'algoritmo euclideo per la determinazione del massimo comune divisore. Sono state discusse possibili prove dell'esistenza di infiniti numeri primi della forma 4m+1 o 4m+3. In modo naturale e' stato accennato il problema della distribuzione dei numeri primi informando gli studenti sullo stato attuale della conoscenza. Sono stati presentate alcune stimolanti proprietà dei primi di Fermat e dei primi di Mersenne. Sono stati discussi casi particolari del problema di Waring. Un accenno ad alcune applicazioni nel campo dell'informatica, della fisica e della biologia. E' stata quindi proposta una attività basata sul Crivello di Eratostene, cercando di migliorarne l'efficenza. A seguito di questa esperienza, è stato proposto il problema di determinare, fissato un qualunque intero m positivo, m interi consecutivi non primi. Come applicazione della divisione euclidea sono state affrontate le dimostrazioni dei criteri di divisibilità che i ragazzi conoscevano, ma ne ignoravano le motivazioni.



Qual è l'ottava cifra di π?
Fabio Di Benedetto

Prerequisiti: variano in base alla traccia scelta.

Materiale: Il lavoro si ispira al paragrafo 1.4 del libro R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Introduzione alla matematica computazionale. Zanichelli, Bologna, 1987.

Presentazione dell'attività

tracce di svolgimento: metodo1 metodo2 metodo3 metodo4

Ulteriore proposta di lavoro per gli studenti più rapidi, relativa al calcolo numerico della radice quadrata col metodo delle tangenti (richiede conoscenze di geometria analitica). con la formulazione dettagliata dei problemi proposti

Descrizione:

Il lavoro è svolto in 6 fasi.

1) Dopo aver brevemente illustrato agli studenti gli scopi dell'attività, viene distribuita a tutti una presentazione del problema, in cui vengono proposti 4 metodi diversi che hanno l'obiettivo di calcolare la costante π con sufficiente precisione.
2) Gli studenti vengono informati sui prerequisiti necessari per affrontare i diversi metodi: i primi due richiedono essenzialmente nozioni di trigonometria, il terzo utilizza la formula di quadratura dei trapezi e richiede solo conoscenze di geometria elementare, il quarto è basato su un approccio probabilistico e dà luogo a un metodo di tipo "Montecarlo", richiedendo solo buone conoscenze informatiche.
3) Gli studenti sono lasciati liberi di scegliere individualmente il metodo da sviluppare (in accordo con i prerequisiti richiesti e la propria preparazione scolastica); una volta effettuata la scelta, vengono quindi accorpati in piccoli gruppi di lavoro (uno per ogni metodo).
4) A ogni gruppo viene fornita un'ulteriore traccia per arrivare alla stesura del metodo che porterà al risultato finale. Vista la complessità dei problemi proposti, gli studenti vengono guidati attraverso un'assidua assistenza da parte del docente.
5) Appena un gruppo ha completato la stesura del metodo scelto, viene guidato ad una semplice implementazione al calcolatore in ambiente MatLab.
6) Vengono analizzati e spiegati i risultati ottenuti al calcolatore, mettendo in evidenza vantaggi e svantaggi del metodo scelto dal gruppo; per quanto possibile, i diversi gruppi vengono fatti interagire a posteriori tra di loro per confrontare le prestazioni dei rispettivi metodi.



Teoria dei grafi: i ponti di Koenisberg e il problema della colorazione delle cartine geografiche
Alexandru Constantinescu

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

L'attività si articola nelle seguenti fasi:

1) Dopo una breve introduzione storica al "problema dei sette ponti di Konigsberg" abbiamo chiesto agli studenti di pensare alla risolubilità del problema (esiste un cammino ciclico che percorre una e una sola volta i sette ponti? Se aggiungiamo o togliamo dei ponti? Ecc.)
2) Formalizzazione del problema: prime nozioni di teoria dei grafi e primi esempi di grafi, nozione di isomorfismo e di grado locale. Attraverso esercizi guidati e facendo costruire diversi tipi di grafi abbiamo cercato di far dedurre agli studenti il teorema che lega la somma dei gradi locali con il numero degli archi di un grafo.
3) Nozione di cammino e di grafo connesso, cammini euleriani e il teorema di Eulero.
4) Il problema dei ponti di Konigsberg come esempio emblematico di come si sviluppa la conoscenza matematica: dal problema particolare alla teoria generale e alle sue successive applicazioni sia all'interno della matematica sia verso le altre scienze.
5) Abbiamo introdotto il problema della colorazione di una cartina geografica in modo minimale usando varie cartine da colorare e senza svelare il Teorema dei 4 colori.
6) Abbiamo diviso gli studenti in 4 squadre e abbiamo chiesto a ciascuna squadra di costruire una cartina colorabile in modo minimale col maggior numero di colori. Poi abbiamo scambiato le cartine e chiesto di colorarle. Durante questa attività abbiamo chiesto agli studenti di riflettere su quali sono i problemi che intervengono nella colorazione delle cartine (si tratta di un problema locale? Quante regioni reciprocamente confinati si possono avere?)
7) Usando degli esempi abbiamo fatto vedere che il problema non è solo locale (abbiamo mostrato una cartina che richiede 4 colori ma che non ha più di tre stati che confinano tutti tra loro).
8) Formalizzazione del problema, grafi planari, grafi poligonali, grafo duale.
9) Usando il teorema della curva chiusa di Jordan abbiamo dimostrato la 4-colorabilità locale delle cartine (non si possono avere più di 4 regioni tutte confinati tra loro).
10) Esempi di cartine 2 e 3 colorabili e qualche teorema su questo tema.
11) Dimostrazione schematica del teorema dei 5 colori.



Tilings di Penrose e quasicristalli
Giacomo Monti Bragadin

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

L'attività si articola nelle seguenti fasi:

1) Successioni ricorsive
Definizioni e proprietà generali.
Esempi: polinomi; i numeri di Fibonacci,di Lucas,di Fermat,di Mersenne,di Tribonacci,di Perrin.
Esercizi : la successione delle potenze k-esime dei numeri di Fibonacci è ricorsiva; trovarne la formula generatrice per k=2,3 e "tentare" per k qualunque; rappresentare un numero intero come somma di numeri di Fibonacci non consecutivi (rappresentazione di Zeckendorf); applicazione ai giochi NIM.
2) . La Rabbit-successione
Varie definizioni equivalenti della successione R = 1011010110110........ . Legami con i conigli di Fibonacci. La successione R è autosimile (i.e. resta invariata se si sostituisce 0 con 1 e si sostituisce 1 con 10), non è periodica, ma ha un "long range order". Un altro esempio è la successione di Morse-Thue.
3) Strutture aperiodiche bene ordinate
Il "goldennumerismo" si è sempre basato da una parte su considerazioni legate all'arte classica e dall'altra sul fatto che in natura gli organismi viventi crescono in maniera gnomonica (fillotassi,conchiglie etc.). Ciò si contrappone alla crescita cristallografica nel mondo minerale. Ne segua la assenza di simmetria pentagonale nelle tassellazioni cristallografiche (restrizione cristallografica) vs abbondanza di simmetria pentagonale in tutto ciò che riguarda il numero aureo e le costruzioni geometriche relative ad esso. Tuttavia dal1989 si sa che esistono in natura materiali la cui struttura presenta simmetria pentagonale: accolti con grande sorpresa furono battezzati quasicristalli. Ma già dai primi '70 R.Penrose, come conclusione di una storia incomonciata dieci anni prima, aveva esibito una tassellazione del piano a simmetria pentagonale, usando solo due tipi di mattonelle (punte e aquiloni). Tale tassellazione (tiling di Penrose), che ha le proprietà della successione R citate in 2, è esposta in un famoso articolo di M.Gardner (Le Scienze,1977). Ha una serie di caratteristiche singolari, alcune delle quali sono facilmente visibili "sperimentalmente".