STAGES 2010: RELAZIONE

questionari degli studenti








Applicazioni della statistica
Maria Piera Rogantin

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

Ai ragazzi vengono proposti alcuni problemi statistici da risolvere utilizzando il software statistico MINITAB. In particolare si porta gli studenti a riflettere su:
-) gli indici di centralità, partendo dalla frase "La maggior parte degli automobilisti sostiene di guidare meglio della media";
-) i percentili, analizzando i dati riguardanti i bambini della Giordania raccolti dall'organizzazione non governativa Medchild.
Infine si introduce uno strumento più complesso di classificazione e rappresentazione dati: la cluster analysis.



Errori e calcolatore
Paola Brianzi

Prerequisiti: soluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite, equazione della retta, concetto di integrale definito.

Materiale:presentazione

Descrizione:

Il lavoro è stato svolto in laboratorio PC. Lo scopo è illustrare come nel calcolo scientifico non si possa prescindere dallo studio degli errori sui dati e della loro propagazione.

1) Si ricorda che il calcolatore rappresenta tutti i numeri in aritmetica finita (cioè con un numero finito di cifre ) in base 2 e questo comporta un errore nella rappresentazione dei dati la cui amplificazione durante lo svolgimento dei calcoli va controllata. Viene illustrato il drammatico esempio del missile Patriot che il 25 febbraio 1991, durante la prima Guerra del Golfo, fallì l'intercettazione di un missile Scud iracheno procurando la morte di 28 soldati, un centinaio di feriti e la distruzione di un capannone americano proprio a causa della propagazione degli errori di arrotondamento nella conversione del tempo che, col passare delle ore, crearono l'errore nel calcolo della traiettoria del missile.
2) Breve introduzione all'uso del linguaggio MatLab
3) Gli studenti provano a risolvere con l'utilizzo del linguaggio MatLab il problema di trovare il punto di intersezione di due rette anche con visualizzazione grafica. Vengono proposti esempi per i quali la perturbazione dei dati influisce in modo molto diverso sul risultato e si introduce il concetto di condizionamento di un sistema lineare .
4) Si illustra il problema dell'approssimazione nel senso dei minimi quadrati di un insieme di dati e si calcola la retta di regressione con l'utilizzo del MatLab.
4) Viene infine descritto il problema dei minimi quadrati per dati continui e, ricollegandosi con quanto visto al punto 3), si propone un esempio la cui soluzione porta a risolvere un sistema lineare molto mal condizionato.



Formula di Bayes e i test diagnostici
Vincenzo Fontana - Maria Piera Rogantin - Laura Boni - Laura Maggi

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

L'obiettivo di questa attività è stato quello di far vedere ai ragazzi come utilizzare il concetto di probabilità condizionata, sottolineandone l'importanza dei test diagnostici in medicina e nelle perizie processuali.
Dopo una introduzione sulla formula di Bayes, i ragazzi sono stati invitati a riflettere assieme su alcuni problemi di probabilità condizionata (falsi positivi e falsi negativi nel test diagnostico di malattie come HIV). Questi esercizi hanno sottolineato l'importanza della stima delle probabilità a priori e posteriori. Per capire l'utilizzo erroneo della probabilità, gli studenti hanno ripercorso in maniera critica le fasi del processo di Sally Clark, una donna inglese che negli anni novanta fu condannata per aver ucciso i suoi due figli e, in seguito, fu assolta.



Giochi matematici
Mihaela Badescu - Giuseppe Rosolini

Prerequisiti: nessuno

Materiale:Dispense di Algebra (Prof. Mihaela Badescu)

Descrizione:

L'attività è divisa in due fasi ben distinte:

1. Vengono spiegati agli studenti i seguenti concetti di algebra con dimostrazioni ed esercizi:

a) Teorema di divisione con resto per i numeri interi.
b) Relazioni di equivalenza. Congruenze numeriche.
c) Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Teorema di Eulero e la funzione di Eulero, applicazioni. Teorema di Wilson e applicazioni. Teorema del resto cinese e applicazioni.
d) Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Teorema di Eulero e la funzione di Eulero, applicazioni. Teorema di Wilson e applicazioni. Teorema del resto cinese e applicazioni.
e) Basi di numerazione e cambiamenti di base di numerazione. Operazioni in basi diverse da quella decimale, applicazioni.

2. Si mostra agli studenti come ciò che hanno imparato può essere usato. Si discutono inoltre le soluzioni da loro proposte per trovarne di migliori.

a) Si ricorda la costruzione ricorrente del Triangolo di Tartaglia-Pascal e si studiano le costruzioni di alcuni frattali di Sierpinski come riproduzione della costruzione del triangolo modulo 2, 3, e altri.
b) Si affrontano poi due puzzle matematici la cui soluzione è alquanto sorprendente:
(i) un metodo per indovinare un numero pensato che sfrutta la base binaria per i numeri
(ii) un metodo per permettere di trasmettere informazione che sfrutta l'aritmetica modulare.

In entrambi i casi, la motivazione sorprendente spinge gli studenti a cercare di comprendere più a fondo quanto imparato nella prima fase.



Google: come la matematica può far diventare ricchi
Fabio Di Benedetto

Prerequisiti: conoscenza di base del concetto di probabilità capacità di risolvere sistemi di equazioni di primo grado.

Materiale:
D.Bini, Matematica e Mondo Reale: il problema di Google e altre storie
Presentazione dell'attività ed esempi
Traccia di svolgimento delle varie fasi

Descrizione:

Il lavoro è svolto in 8 fasi.

1) Dopo aver brevemente illustrato agli studenti gli scopi dell'attività, viene distribuita a tutti una presentazione su carta del problema, in cui vengono anche descritti 3 esempi di diversa complessità che saranno oggetto delle simulazioni. Si inizia quindi la presentazione su schermo della traccia di svolgimento.
2) Partendo dal primo esempio (una ipotetica situazione in cui 5 pagine web sono tra loro collegate), viene introdotto il linguaggio matematico dei grafi che permette una migliore visualizzazione del problema e la generalizzazione ad altre situazioni concrete (come il secondo esempio).
3) Si introduce la "passeggiata casuale"; viene mostrato come calcolare ad ogni passo la probabilità che una singola pagina venga visitata. Fissata una pagina di partenza, ad ogni studente si assegna una specifica pagina dell'esempio, su cui avrà il compito di calcolare la rispettiva probabilità a questo punto gli studenti lavorano simultaneamente e si scambiano i risultati, fino a che le probabilità non si stabilizzano ad un valore limite..
4) Si studia la dipendenza del risultato ottenuto dalla pagina di partenza. A tale scopo, ad ogni studente si assegna una diversa configurazione di partenza sulla quale deve calcolare, indipendentemente dagli altri, i valori limite corrispondenti a tutte le pagine.
5) Avendo osservato che il valore limite non dipende dal punto di partenza, viene introdotta l'interpretazione matematica dei valori limite, che rappresentano l'importanza delle singole pagine, come soluzioni di un opportuno sistema di equazioni lineari.
6) Vengono fornite le istruzioni necessarie per l'implementazione al calcolatore in ambiente Matlab. Ogni studente procede al calcolo delle passeggiate casuali sul secondo esempio (collegamenti ferroviari tra le 11 province della Lombardia) a partire da stazioni diverse. Viene enunciato un teorema di esistenza e unicità dei valori limite; viene quindi descritta la tecnica di "teletrasporto" (dipendente da un parametro) per garantire le ipotesi del teorema.
7) Ogni studente implementa la tecnica sul terzo esempio (300 pagine web collegate all'Università di Harvard), selezionando un diverso parametro e confrontando la velocità di convergenza con le scelte degli altri.
8) Viene infine discussa la complessità computazionale dei vari metodi (passeggiata casuale, calcolo diretto risolvendo il sistema lineare) con particolare riferimento alla dipendenza dal parametro di teletrasporto, traendone conclusioni e accennando ai problemi aperti della ricerca nel campo.



Il computer e la matematica: una relazione burrascosa
Claudia Fassino - Giulio Ferrari

Prerequisiti: soluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite - il concetto di retta in geometria analitica.

Descrizione:

Il lavoro è stato svolto in aula e in laboratorio PC.
Aula:

1) Semplice schematizzazione di un computer e descrizione del problema legato alla finitezza dello spazio per la memorizzazione dei dati usando la virgola mobile (floating point) con t cifre.
2) Gli studenti lavorano su semplici problemi (intersezione di rette) volti a sottolineare l'influenza della perturbazione dei dati sul risultato. Segue una breve discussione sugli effetti della memorizzazione dell'input su un numero finito di cifre.
3) Semplice descrizione di come vengano effettuate dal computer alcune operazioni aritmetiche utilizzando numeri floating point.
4) Gli studenti eseguono operazioni floating point per evidenziare la non validità, in tale contesto, di semplici proprietà aritmetiche quali la proprietà associativa.

Laboratorio:
1) Breve introduzione all'uso di MatLab.
2) Gli studenti verificano, utilizzando MatLab, le nozioni introdotte in aula.
3) Definizione/descrizione della funzione esponenziale. Discussione sulla possibilità di approssimare tale funzione seguendo diverse strategie a seconda del tipo di esponente.



Il problema della colorazione delle cartine geografiche
Laura Torrente

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

L'attività si articola nelle fasi seguenti:

1) Introduzione al problema della colorazione di una cartina geografica in modo minimale. Attività collettiva: prove di colorazione di cartine con un minimo numero di colori, costruzione di cartine da parte degli studenti, congetture sul minimo numero di colori necessari, identificazione di eventuali problemi.
2) Enunciato del problema e cenni storici. Si pone particolare attenzione alla differenza tra i concetti di congettura e dimostrazione.
3) Formalizzazione del problema, introduzione alla teoria dei grafi. Enunciato del Teorema dei quattro colori; enunciato e dimostrazione del Teorema dei sei colori.
4) Come generare tutte le possibili 3-colorazioni di un grafo avente numero cromatico 3; formalizzazione e calcolo su due esempi proposti (il secondo esempio viene proposto come lavoro per gli studenti).
5) Introduzione al sistema di calcolo simbolico CoCoA con esempi. Risoluzione effettiva mediante l'utilizzo di CoCoA del problema e degli esempi del punto 4.



Il teorema di Sharkovski
Silvia Villa

Prerequisiti: Per partecipare a questa attività è necessaria soltanto una conoscenza del concetto di funzione e di grafico di una funzione di una variabile.

Materiale:
J. Gleick, Caos. La nascita di una nuova scienza, Biblioteca Universale Rizzoli, 2000
E. Salinelli e F. Tomarelli, Modelli Dinamici Discreti, Springer Verlag 2008
I. Stewart, Dio gioca a dadi?, Bollati Boringhieri 1980

Descrizione:

L'attività si svolge in diverse fasi. Gi studenti hanno partecipano attivamente a tutti le fasi, cercando di risolvere i problemi proposti.

L'attività consiste in una contestualizzazione storica e scientifica del teorema di Sharkovski e nella sua spiegazione, e comprende tre momenti principali:

-) contestualizzazione del teorema: breve introduzione ai sistemi dinamici discreti; introduzione del concetto di punto fisso e di orbita a partire da alcuni esempi concreti che gli studenti sono invitati ad affrontare e formalizzare.
-) definizione di ordinamento su un insieme e dell'ordinamento di Sharkovski (con vari esempi ed esercizi)
-) enunciato del teorema e discussione delle sue principali conseguenze



La matematica nella tecnologia: compressione e ricostruzione di segnali e immagini
Claudio Estatico

Prerequisiti: conoscenza del concetto di integrale definito (non occorre saper far calcoli)

Descrizione:

Le tematiche affrontate spaziano dalla ricostruzione di immagini alla compressione di segnali audio e video. Tali tecniche sono alla base, ad esempio, dei programmi commerciali che permettono di ripulire una fotografia mossa e sfocata, e delle tecnologie JPEG, MP3 ed MP4 per la compressione di musica e video, largamente utilizzate proprio dai giovani. L'attività viene interamente svolta nei laboratori informatici, utilizzando al calcolatore semplici programmi Matlab sviluppati dal docente.

L'attività è stata svolta in 2 fasi:

1) Nella prima fase è stato affrontato il problema della ricostruzione di immagini. Dopo una breve presentazione del modello matematico alla base del problema, gli studenti sono stati invitati a migliorare l'aspetto di alcune fotografie mosse e sfocate, simulando l'attività svolta, ad esempio, dalla polizia scientifica. Poichè il problema della ricostruzione di immagini è di carattere lineare, esso richiede la risoluzione di un sistema lineare. È interessante notare che lo strumento matematico di base, ossia la risoluzione di sistemi lineari, rientra tra le competenze classiche degli studenti, in quanto già visto nel loro percorso di studi. Ciò che cambia è esclusivamente la dimensione del sistema in esame, che ora contempla milioni di equazioni ed incognite, ed il calcolatore diventa quindi il necessario supporto all'effettiva risoluzione del problema.
2) Nella seconda fase sono state presentate le due differenti tipologie di compressione, con e senza perdita di informazioni, con particolare attenzione alla prima tipologia. L'approccio teorico all'argomento è stato affrontato con una brevissima ed elementare introduzione all'analisi e sintesi di funzioni basata sulla serie di Fourier, tale da non richiedere particolari prerequisiti. Successivamente gli studenti sono stati coinvolti in una simulazione di compressione di segnali e immagini, utilizzando nuovamente semplici programmi al calcolatore.



Le leggi di conservazione in meccanica e la geometria del biliardo 
Stefano Pasquero

Prerequisiti: il concetto di vettore - concetti di base di Fisica (velocità, forza...).

Descrizione:

Il lavoro è stato svolto in aula, con l'ausilio di files grafici.

1) Tipologia delle quantità fisiche: grandezze scalari, vettoriali e oltre. Esempi.
2) Il concetto di vettore. Da "modulo, direzione e verso" a "elemento di uno spazio dotato di proprietà". Operazioni tra e con i vettori. Prodotto scalare e prodotto vettore. Componenti di un vettore. Equazioni vettoriali e quantità di informazioni.
3) Le leggi di conservazione per sistemi isolati in Meccanica. Quantità di moto. Momento angolare. Energia cinetica.
4) Gli urti elastici nel biliardo bidimensionale ideale (o nell'hockey da tavolo). Urto fra biglie: urti diretti centrali e gioco delle palle di Newton; urti centrali obliqui e perpendicolarità delle direzioni di uscita delle biglie. Urto biglia-sponda: angolo di incidenza=angolo di riflessione.
5) I tiri del biliardo: tiro ad una sponda "simmetrico"; tiro ad una sponda "asimmetrico"; teoria dei biliardi multipli e tiro ad n sponde.
6) Cenni al biliardo tridimensionale ideale: quali proprietà geometriche delle traiettorie si conservano e quali no?
7) Cenni al biliardo tridimensionale non ideale: che ruolo giocano gli attriti?
8) L'urto stecca-biglia e la magia del gessetto blu: i tiri ad effetto.



Matematica ricreativa
Gianfranco Bo

Prerequisiti: Aritmetica e geometria elementari, calcolo combinatorio e analisi matematica di base.

Descrizione:

Scopo dell'attività è affrontare alcuni classici della matematica ricreativa per riflettere su aspetti importanti del fare matematica quali la cooperazione, la fantasia, la creatività, la ricerca di metodi efficaci per rappresentare le soluzioni dei problemi.

1) Presentazione della matematica ricreativa e degli scopi di questo stage.
2) Sono quindi stati proposti agli studenti alcuni problemi classici della matematica ricreativa, con la richiesta di: a) affrontarli e cercare la soluzione in gruppo, cooperando; b) rappresentare la soluzione in un modo conciso, efficace, illuminante; c) suggerire possibili generalizzazioni del problema;
3) Principali problemi proposti sono: a) ricerca in un labirinto; b) dal taglio della pizza al problema di Steiner (qual è il massimo numero di regioni formate da n rette che si intersecano nel piano?); c) il problema della jeep (come si può attraversare un deserto con una jeep che può trasportare al massimo carburante per compiere metà del percorso?); d) testa o croce per telefono (in che modo due persone che non si fidano l'una dell'altra possono giocare a "Testa o Croce" per telefono?); e) tre case case e tre servizi sul piano (collegare tre case a tre servizi senza incroci); f) quattro case case e quattro servizi sul toro (collegare quattro case a quattro servizi senza incroci).



Neuroscienze e astronomia coi sistemi lineari
Silvia Allavena e Cristina Campi

Prerequisiti: funzioni e sistemi di equazioni lineari.

Descrizione:

L'attività è stata articolata in due parti: al mattino, sono stati presentati agli studenti due problemi reali di difficile soluzione (un problema di ricostruzioni di sorgenti neurali in magnetoencefalografia e un problema di astronomia) e per ognuno di essi è stato spiegato come è possibile descrivere il modello fisico in termini lineari. Si sono sottolineati gli aspetti sperimentali dei problemi e come la matematica sia fortemente coinvolta nella loro modellizzazione. Si è spiegato come questi problemi siano, oltre che mal condizionati, anche mal posti secondo la definizione di Hadamard. Si è quindi conclusa l'attività con un accenno alle tecniche di regolarizzazione più sofisticate necessarie per trovare la soluzione nei problemi reali presentati. La seconda parte dell'attività si è svolta nel pomeriggio: sono stati presentati alcuni semplici problemi ed è stato spiegato come modellizzarli e risolverli con i sistemi lineari._Sono state presentate le matrici e come formulare i sistemi lineari in termini matriciali. Gli studenti sono stati divisi in 2 gruppi ed è stato chiesto di risolvere due sistemi lineari i cui termini noti differivano di "poco". Si è poi commentata l'estrema differenza tra le soluzioni dei 2 sistemi e si è introdotto il concetto di mal condizionamento. Dopo questa esperienza diretta col mal condizionamento, approfondita anche con esperimenti numerici al calcolatore utilizzando il programma Matlab è stata proposta agli studenti il metodo di Landweber, applicato numericamente sempre grazie all'ausilio del pc, per la cura del mal condizionamento



Oltre Penrose: tassellazioni non periodiche del piano, spirali o radiali.
Giacomo Monti Bragadin

Prerequisiti: Familiarità con la geometria euclidea del piano, le operazioni sui numeri complessi, la riducibilità dei polinomi, combinatorica elementare

Descrizione:

1) Generalità su curve piane, in particolare spirali.
Cenni alla spirale di Archimede ed alla sua approssimazione poligonale più nota: la spirale di Teodoro. La spirale logaritmica o equiangolare: approssimazione con spezzate, proprietà di autosimilarità e congruenza, la "spira mirabilis" di Bernoulli, la spirale aurea.
2) Tassellazioni spirali con mattonelle simili.
Partendo da spirali poligonali e procedendo per interpolazione è possibile costruire tassellazioni spirali del piano p.es. con triangoli simili ("30-60-90"). Altrimenti si ottengono tassellazioni del tipo richiesto facendo agire la mappa esponenziale del piano complesso in sé su una tassellazione periodica. Si esamina qualche facile esempio.
3) Tassellazioni inflative con simmetria radiale.
Il procedimento di inflazione, che è una delle caratteristiche dei tilings di Penrose, conduce in modo "naturale" alla costruzione di tassellazioni del piano con simmetria radiale, invarianti per rotazioni di con n dispari. L'esempio n=7 viene svolto nei dettagli. In particolare si riconosce che il problema si riduce a trovare un polinomio intero irriducibile P di grado tre tale che P si spezzi nel prodotto di due analoghi polinomio di grado tre. Si prova che tale procedura funziona anche nei casi n=5,9,11.
4) Tassellazioni spirali e successioni ricorsive di numeri interi.
Si parte dalla tassellazione (spirale) di rettangoli aurei, legata alla successione dei numeri di Fibonacci, e dalla analoga di triangoli equilateri, legata alla successione dei numeri di Perrin. Qualche nuovo esempio è proposto.



Qual è l'ottava cifra di π?
Fabio Di Benedetto

Prerequisiti: variano in base alla traccia scelta.

Materiale: Il lavoro si ispira al paragrafo 1.4 del libro R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Introduzione alla matematica computazionale. Zanichelli, Bologna, 1987.

Presentazione dell'attività

tracce di svolgimento: metodo1 metodo2 metodo3 metodo4

Ulteriore proposta di lavoro per gli studenti più rapidi, relativa al calcolo numerico della radice quadrata col metodo delle tangenti (richiede conoscenze di geometria analitica). con la formulazione dettagliata dei problemi proposti

Descrizione:

Il lavoro è svolto in 6 fasi.

1) Dopo aver brevemente illustrato agli studenti gli scopi dell'attività, viene distribuita a tutti una presentazione del problema, in cui vengono proposti 4 metodi diversi che hanno l'obiettivo di calcolare la costante π con sufficiente precisione.
2) Gli studenti vengono informati sui prerequisiti necessari per affrontare i diversi metodi: i primi due richiedono essenzialmente nozioni di trigonometria, il terzo utilizza la formula di quadratura dei trapezi e richiede solo conoscenze di geometria elementare, il quarto è basato su un approccio probabilistico e dà luogo a un metodo di tipo "Montecarlo", richiedendo solo buone conoscenze informatiche.
3) Gli studenti sono lasciati liberi di scegliere individualmente il metodo da sviluppare (in accordo con i prerequisiti richiesti e la propria preparazione scolastica); una volta effettuata la scelta, vengono quindi accorpati in piccoli gruppi di lavoro (uno per ogni metodo).
4) A ogni gruppo viene fornita un'ulteriore traccia per arrivare alla stesura del metodo che porterà al risultato finale. Vista la complessità dei problemi proposti, gli studenti vengono guidati attraverso un'assidua assistenza da parte del docente.
5) Appena un gruppo ha completato la stesura del metodo scelto, viene guidato ad una semplice implementazione al calcolatore in ambiente MatLab.
6) Vengono analizzati e spiegati i risultati ottenuti al calcolatore, mettendo in evidenza vantaggi e svantaggi del metodo scelto dal gruppo; per quanto possibile, i diversi gruppi vengono fatti interagire a posteriori tra di loro per confrontare le prestazioni dei rispettivi metodi.



Un calcolo diagrammatico per i sillogismi
Fabio Pasquali

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

L'attività svolta è consistita nella analisi del ragionamento sillogistico in una prospettiva ad ampio spettro, dal suo primissimo delinearsi nell'ambito della scuola aristotelica fino ai più recenti sviluppi nel contesto dell'informatica teorica. Di centrale importanza è stata la descrizione di un metodo di calcolo basato su un formalismo puramente grafico, capace di rendere esplicito il procedimento di deduzione logica proprio di tale forma di ragionamento. Possono riconoscersi quattro fasi.

Prima fase: Descrizione di un inquadramento storico-filosofico dell'argomento. Vengono sottolineate le problematiche di carattere linguistico che hanno portato Artistotele, e i membri della sua scuola, ad inaugurare, su criteri di assoluta modernità, un approccio scientifico alla logica e, in particolare, al ragionamento sillogistico.

Seconda fase: Introduzione e discussione di alcuni principi fondamentali del ragionamento logico-deduttivo e di alcune nozioni tecniche, utili allo svolgersi della attività, la cui comprensione è stata aiutata dalla presentazione di esempi, tratti da diversi contesti della matematica.

Terza fase: Introduzione alla teoria del sillogismo categorico, con motivanti collegamenti all'informatica. Trattazione medievale di tale teoria e suo confronto con l'approccio Aristotelico originario. Analisi e discussione della struttura formale dei sillogismi.

Quarta fase: Introduzione di un metodo di calcolo di recente invenzione per l'inferimento di conclusioni sillogistiche, basato su un formalismo completamente grafico. Confronto di tale metodo con i ben noti diagrammi di Venn, discutendo la natura algoritmica del primo rispetto al secondo. Esempi di utilizzo di entrambi i metodi. Introduzione alla nozione di controesempio e di dimostrazione formale.