STAGES 2008: RELAZIONE

questionari degli studenti








Apprendimento da esempi e automi cellulari
Silvia Villa

Prerequisiti: nessuno

Materiale:bibliografia

Descrizione:

Lo scopo di questa attività è: lo smitizzare l'idea di intelligenza artificiale attraverso l'utilizzo della matematica; trasmettere un'immagine della matematica come strumento formale indispensabile e adeguato per progettare algoritmi che permettano ad una macchina di apprendere; presentare attraverso esempi divertenti diverse applicazioni della matematica Il lavoro è stato svolto in sei fasi.

1) Addestramento di una semplice "macchina" costruita con bottoni e scatole di fiammiferi (seguendo le indicazioni di M. Gardner) che impara a giocare una dama semplificata. Sono state svolte diverse partite contro la macchina, che diventa un giocatore invincibile dopo aver giocato e perso un numero sufficiente di partite.
2) Gli studenti sono stati divisi in due gruppi, e ciascuno dei due gruppi ha costruito una macchina che imparasse a giocare il "gioco dei fiammiferi", rispettivamente come primo e secondo giocatore. Dopo la costruzione c'è stata la fase di addestramento delle due macchine.
3) Introduzione dei concetti di base riguardanti i giochi in forma estesa, con particolare attenzione alle idee di strategia e induzione a ritroso. Riflessioni sulle modalità di progettazione di macchine che imparano a giocare.
4) Introduzione degli automi cellulari come sistemi che si evolvono autonomamente dopo aver specificato poche semplici regole e come argomento ricco di applicazioni. Gli studenti lavorano autonomamente sugli automi unidimensionali.
5) Riflessione sul concetto di dipendenza della soluzione di un problema dalle condizioni iniziali e introduzione al gioco Life di Conway come esempio di automa cellulare bidimensionale.
6) Utilizzo di strumenti informatici per analizzare gli automi unidimensionali e il gioco Life.



Compressione dati
Carlo Mazza

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

Lo scopo è dare una minima introduzione alla compressione dei_dati, e in particolare a quella lossless, guidando gli studenti attraverso il processo di formalizzazione e usando tecniche standard quali dimostrazioni per induzione, per assurdo, e proprietà di base delle funzioni.

Iniziamo con una brevissima panoramica della compressione dei dati e in particolare della divisione fra compressione lossless e lossy. Ci concentriamo poi sulla compressione lossess e cerchiamo di formalizzare questo concetto. Si inizia quindi a pensare a inisiemi di file e a funzioni fra insiemi. Come primo esercizio si calcola assieme la cardinalità degli insiemi dei file di lunghezza fissata N e di lunghezza al più N usando l'induzione e il calcolo diretto. Si continua nella formalizzazione del problema e si riconosce che la proprieta' "lossless" è equivalente all'iniettività dell'applicazione fra gli insiemi dei file. Si enuncia il teorema che non esiste la compressione perfetta: non esiste una funzione iniettiva che non faccia aumentare la lunghezza di alcun file ma che ne accorci almeno uno. Si dimostra per assurdo e con un argomento computazionale usando il principio di Dirichlet, o principio dei cassetti. Dopo aver riflettuto sulle conseguenze di tale teorema, si espongono due tecniche basilari di compressione lossless quali RLE e i codici Huffman. Si introducono quindi gli alberi utilizzati nei codici Huffman e tramite esempi si mostra come questi due metodi siano efficaci su casi diversi, ma possono anche aumentare la dimensione in casi particolari, il che è perfettamente in accordo con il teorema dimostrato prima.

Nell'ultima parte della lezione mostriamo degli esempi concreti di compressione lossy, quali immagini compresse via PNG/JPEG/JPEG2000, video MPEG4 Part2/MPEG4 Part10 e audio MP3/AAC al fine di mostrare gli effetti pratici dei diversi livelli e metodi di compressione. In particolare, si effettua un double-blind test con gli studenti per imparare a riconoscere i due tipi di compressione audio proposti.



Cos'è la topologia?
Giacomo Monti Bragadin

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

Lo scopo di questa attività è la presentazione di una materia che sarà oggetto di studio corso di laurea in Matematica

1) Punto di vista "ingenuo" : la topologia è la geometria della gomma e delle forbici (secondo una celebre definizione).
2) Tentativo di una prima formalizzazione mediante la nozione di "vicinanza" derivata da quella di distanza,anche se ci sono metriche molto innaturali
3) Appena un cenno alla possibilità di assiomatizzare alcune delle proprietà dei dischi di uno spazio metrico per arrivare alla nozione di aperto (questo sarà il punto di partenza del corso specificatamente dedicato alla topologia).
4) In ogni caso il topologo è interessato solo alla forma delle figure (non distingue figure "omeomorfe"), ma il suo compito non è poi cosi banale. Studiare la topologia costringe a rivedere le proprietà intuitive dello spazio, ma in questo ci si imbatte in esempi del tutto inaspettati. Per averne un'idea abbiamo esaminato un certo numero di esempi ed argomenti significativi:
i) il problema dei ponti di Koenigsberg
ii) l'insieme di Cantor e la funzione singolare di Lebesgue
iii) la curva di Peano
iv) diversi comportamenti del piano e del toro circa la proprietà di essere separati da una curva chiusa
v) la nozione di superficie, partendo dagli esempi: sfera, piano proiettivo, nastro di Moebius, bottiglia di Klein ottenuti incollando opportunamente i lati opposti di un quadrato
vi) operazione di somma connessa di superficie, partendo dalla quale si può dare un'idea della dimostrazione del teorema di classificazione delle superficie compatte
vii) la formula di Eulero per i poliedri
viii) come ottenere due anelli intrecciati senza ricorrere a tagli o saldature



Giochi matematici
Mihaela Badescu - Giuseppe Rosolini

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

Lo scopo di questa attività è insegnare agli studenti concetti di algebra astratta e mostrare come possono essere applicati per proporre sorprendenti puzzle matematici.

L'attività è divisa in due fasi ben distinte:

1. Vengono spiegati agli studenti i seguenti concetti di algebra con dimostrazioni ed esercizi:

a) Teorema di divisione con resto per i numeri interi.
b) Relazioni di equivalenza. Congruenze numeriche.
c) Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Teorema di Eulero e la funzione di Eulero, applicazioni. Teorema di Wilson e applicazioni. Teorema del resto cinese e applicazioni.
d) Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Teorema di Eulero e la funzione di Eulero, applicazioni. Teorema di Wilson e applicazioni. Teorema del resto cinese e applicazioni.
e) Basi di numerazione e cambiamenti di base di numerazione. Operazioni in basi diverse da quella decimale, applicazioni.

2. Si mostra agli studenti come ciò che hanno imparato può essere usato. Si discutono inoltre le soluzioni da loro proposte per trovarne di migliori.

a) Si ricorda la costruzione ricorrente del Triangolo di Tartaglia-Pascal e si studiano le costruzioni di alcuni frattali di Sierpinski come riproduzione della costruzione del triangolo modulo 2, 3, e altri.
b) Si affrontano poi due puzzle matematici la cui soluzione è alquanto sorprendente:
(i) un metodo per indovinare un numero pensato che sfrutta la base binaria per i numeri
(ii) un metodo per permettere di trasmettere informazione che sfrutta l'aritmetica modulare.

In entrambi i casi, la motivazione sorprendente spinge gli studenti a cercare di comprendere più a fondo quanto imparato nella prima fase.



Il computer e la matematica: una relazione burrascosa
Claudia Fassino - Giulio Ferrari

Prerequisiti: soluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite - il concetto di retta in geometria analitica.

Descrizione:

Lo scopo del laboratorio è illustrare alcune problematiche del computer legate alla memorizzazione dei dati e all'uso dell'aritmetica floating point.

Il lavoro è stato svolto in aula e in laboratorio PC.
Aula:

1) Semplice schematizzazione di un computer e descrizione del problema legato alla finitezza dello spazio per la memorizzazione dei dati usando la virgola mobile (floating point) con t cifre.
2) Gli studenti lavorano su semplici problemi (intersezione di rette) volti a sottolineare l'influenza della perturbazione dei dati sul risultato. Segue una breve discussione sugli effetti della memorizzazione dell'input su un numero finito di cifre.
3) Semplice descrizione di come vengano effettuate dal computer alcune operazioni aritmetiche utilizzando numeri floating point.
4) Gli studenti eseguono operazioni floating point per evidenziare la non validità, in tale contesto, di semplici proprietà aritmetiche quali la proprietà associativa.

Laboratorio:
1) Breve introduzione all'uso di MatLab.
2) Gli studenti verificano, utilizzando MatLab, le nozioni introdotte in aula.
3) Definizione/descrizione della funzione esponenziale. Discussione sulla possibilità di approssimare tale funzione seguendo diverse strategie a seconda del tipo di esponente.



Il pensiero matematico: esempi elementari
Paltin Ionescu

Prerequisiti: nessuno.

Descrizione:

L'obiettivo di questa attività è di mostrare agli studenti semplici problemi di Matematica, che evidenzino la bellezza ma anche l'utilità della matematica

I seguenti problemi vengono presentati agli studenti e risolti discutendone con loro:

1) Un problema di geometria piana, basato sul concetto di simmetria, con una apparenza "applicativa"
2) Un "gioco" con punti e curve piane (continue), che "non si può vincere" (a causa del Teorema di Jordan). Propaganda per la topologia!
3) Un altro enunciato di "impossibilità" (costruire un triangolo equilatero con vertici su una rete di quadrati). Collegamento fra trigonometria, geometria metrica, algebra e aritmetica. Propaganda per la matematica greca, vaccinazione contro il pregiudizio della "matematica divisa" (algebra, geometria, trigonometria, aritmetica, etc.). E importante vaccinarsi da piccolo!
4) Un problema "pratico" dove si vede l'utilità del pensiero topologico-combinatoriale.



Il ruolo dello statistico nell'ambito dell'Epidemiologia
Vincenzo Fontana - Maria Piera Rogantin - Emanuela Sasso

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

L'obiettivo di questa attività è stato quello di far vedere ai ragazzi come utilizzare gli strumenti della matematica, in particolare della statistica, per affrontare problemi legati all'ambito medico

Dopo una introduzione sulla storia dell'Epidemiologia, è stato presentato un problema legato alla diffusione geografica di malattie. Successivamente i ragazzi sono stati invitati a risolvere un problema analogo utilizzando il calcolatore con EXCEL e un software statistico specialistico (MINITAB). Sempre a gruppi al calcolatore, i ragazzi sono stati invitati a trovare soluzioni ad altri esercizi (relazione fra numero di globuli bianchi e esposizione a radiazioni). Infine, in aula, è stata commentata l'esercitazione a carattere epidemiologico e sono stati illustrati alcuni "tranelli statistici", per evidenziare come il trattamento dei dati può portare a conclusioni sbagliate se scollegato da un metodo critico-scientifico.



La Matematica e l'Imaging Medico
Giovanni Bozza, Massimo Brignone, Cristina Campi, Annalisa Pascarella, Alberto Sorrentino

Prerequisiti: concetto di funzione e sistemi lineari

Descrizione:

Lo scopo di questa attività è presentare i modelli matematici e fisici che sono alla base si alcune tecniche di imaging medico

Il lavoro è stato svolto in 5 fasi:
Fase 1. Introduzione e descrizione delle più comuni tecniche di imaging medico strutturale e funzionale

Fase 2. Spiegazione in dettaglio del funzionamento della tomografia, sia a raggi x che a microonde, dei presupposti teorici, dell'intervento della matematica nella modellizzazione del problema delle tecniche per la su risoluzione (accenni alla malposizione dei problemi inversi e alla teoria della regolarizzazione)

Fase 3. Esperienza guidata, tramite un'interfaccia grafica in matlab (precedentemente implementata), di come si ottengono ricostruzioni nella tomografia a microonde

Fase 4. Esposizione del funzionamento e degli aspetti sperimentali della magnetoencefalografia, del modello matematico e della risoluzione del problema con un approccio probabilistico

Fase 5. Esperienza guidata, tramite un'interfaccia grafica in matlab (precedentemente implementata), sulla risoluzione del problema della magnetoencefalografia a partire da dati sintetici.



La matematica nella tecnologia: compressione e ricostruzione di segnali e immagini
Claudio Estatico

Prerequisiti: conoscenza del concetto di integrale definito (non occorre saper far calcoli)

Descrizione:

Lo scopo dell'attività è presentare in maniera semplice alcune applicazioni della matematica nella tecnologia di uso quotidiano.

Le tematiche affrontate spaziano dalla ricostruzione di immagini alla compressione di segnali audio e video. Tali tecniche sono alla base, ad esempio, dei programmi commerciali che permettono di ripulire una fotografia mossa e sfocata, e delle tecnologie JPEG, MP3 ed MP4 per la compressione di musica e video, largamente utilizzate proprio dai giovani. L'attività viene interamente svolta nei laboratori informatici, utilizzando al calcolatore semplici programmi Matlab sviluppati dal docente.

L'attività è stata svolta in 2 fasi:

1) Nella prima fase è stato affrontato il problema della ricostruzione di immagini. Dopo una breve presentazione del modello matematico alla base del problema, gli studenti sono stati invitati a migliorare l'aspetto di alcune fotografie mosse e sfocate, simulando l'attività svolta, ad esempio, dalla polizia scientifica. Poichè il problema della ricostruzione di immagini è di carattere lineare, esso richiede la risoluzione di un sistema lineare. È interessante notare che lo strumento matematico di base, ossia la risoluzione di sistemi lineari, rientra tra le competenze classiche degli studenti, in quanto già visto nel loro percorso di studi. Ciò che cambia è esclusivamente la dimensione del sistema in esame, che ora contempla milioni di equazioni ed incognite, ed il calcolatore diventa quindi il necessario supporto all'effettiva risoluzione del problema.
2) Nella seconda fase sono state presentate le due differenti tipologie di compressione, con e senza perdita di informazioni, con particolare attenzione alla prima tipologia. L'approccio teorico all'argomento è stato affrontato con una brevissima ed elementare introduzione all'analisi e sintesi di funzioni basata sulla serie di Fourier, tale da non richiedere particolari prerequisiti. Successivamente gli studenti sono stati coinvolti in una simulazione di compressione di segnali e immagini, utilizzando nuovamente semplici programmi al calcolatore.



La "superformula" di Johan Gielis
Gianfranco Bo

Prerequisiti: conoscere le basi della trigonometria, sapere cos'è e come si disegna una funzione nel piano cartesiano, sapere come si esprime la circonferenza in coordinate polari

Materiale:bibliografia

Descrizione:

Lo scopo dell'attività è di capire come si possono ottenere facilmente alcuni effetti grafici legati alla rappresentazione di funzioni, utilizzando un piccolo insieme di istruzioni elementari in un linguaggio di programmazione; studiare la cosiddetta "superformula" di Johan Gielis esaminandone alcune applicazioni.

L'attività è stata svolta in 9 fasi:
Fase 1. Presentazione di un insieme minimo di istruzioni in BASIC per tracciare il grafico di una funzione.

Fase 2. Progettazione, scrittura e verifica di un programma che disegni grafici di funzioni.

Fase 3. Esperimenti per capire in che modo uno o più parametri modificano il grafico di una funzione (anche trigonometrica).

Fase 4. Ampliamento del programma precedente per fare in modo che visualizzi "animazioni" di funzioni contenenti uno o più parametri, al variare dei parametri.

Fase 5. Disegno di una circonferenza in coordinate polari.

Fase 6. Realizzazione di vari grafici in coordiante polari: ellisse, superellisse, spirali.

Fase 7. Finalmente la superformula.

Fase 8. Applicazioni della superformula.

Fase 9. Che cosa si intende quando si dice che la superformula descrive le forme di una vasta classe di organismi viventi?



Le basi della teoria della relatività speciale
Danilo Bruno

Prerequisiti: Trigonometria, equazione della circonferenza nel piano, soluzione di sistemi di equazioni di secondo grado, principali concetti di cinematica (moto rettilineo uniforme, velocità ... )

Materiale:dispense per gli studenti

Descrizione:

Lo scopo dell'attività è di mostrare come la matematica possa essere utilizzata per descrivere fenomeni naturali.

L'attività è stata svolta in 9 fasi:
Fase 1. Introduzione alla costruzione di un modello matematico della realtà, con particolare attenzione al ruolo che la scelta degli assiomi gioca nello sviluppo di una teoria.

Fase 2. La scelta degli assiomi. Riflessione sul significato dei concetti di tempo e spazio e costruzione di un metodo per tradurre tali concetti in linguaggio matematico. Partendo da queste riflessioni e dall' esperienza quotidiana, è possibile ricostruire le basi della cinematica relativa, formulando gli assiomi di tempo e spazio assoluti. In questa fase gli studenti sono spinti a riflettere sui concetti attraverso domande e a discutere sulle risposte che forniscono, fino a giungere alla formulazione degli assiomi.

Fase 3. Formalizzazione della meccanica classica. È stata spiegata brevemente una semplice formalizzazione della cinematica relativa, che utilizzi solo matematica nota nelle scuole secondarie, fino al teorema di addizione delle velocità.

Fase 4. Contraddizione con l'elettromagnetismo. Riflessione sulla propazione delle onde elettromagnetiche e descrizione del moto di un fronte d'onda utilizzando l' equazione della circonferenza nel piano. Contraddizione fra elettromagnetismo e teorema di addizione delle velocità. In questa fase gli studenti sono nuovamente spinti a riflettere sul concetto di propagazione di un fronte d' onda ed invitati ad utilizzare i concetti matematici che hanno appreso per formalizzare il fenomeno.

Fase 5. Cambiare gli assiomi. Discussione critica sugli assiomi formulati in precedenza. Gli studenti sono portati attraverso semplici esperimenti concettuali a mettere in dubbio il concetto di tempo assoluto.

Fase 6. La relatività speciale. Formulazione dei nuovi assiomi e trasformazioni di Lorentz. Gli studenti vengono invitati a creare una formalizzazione simile a quella del punto 3 utilizzando i nuovi assiomi.

Fase 7. Conseguenze cinematiche delle trasformazioni di Lorentz. Contrazione delle lunghezze, dilatazione dei tempi e legge di composizione delle velocità.

Gli studenti vengono posti davanti al problema di valutare come cambiano le lunghezze e gli intervalli temporali al variare dell' osservatore e sono invitati a determinarlo utilizzando quello che hanno imparato al mattino. Infine gli viene mostrata la legge di composizione delle velocità.

Fase 8. Paradossi. Paradosso dei gemelli e dell' automobile nel garage. Vengono illustrati alcuni apparenti paradossi, generati dalle leggi di dilatazione dei tempi e di contrazione delle lunghezze, e gli studenti vengono invitati a trovare l' errore nel ragionamento che li ha causati.

Fase 9. Formulazione di Minkowski. Viene mostrato come l'introduzione dello spazio tempo permetta di visualizzare meglio i concetti relativistici.



Le leggi di conservazione in meccanica e la geometria del biliardo 
Stefano Pasquero

Prerequisiti: il concetto di vettore - concetti di base di Fisica (velocità, forza...).

Descrizione:

Lo scopo dell'attività è di illustrare come dalle semplici leggi di conservazione della Meccanica possano essere dedotte le traiettorie delle biglie nei vari tipi di urto del biliardo

Il lavoro è stato svolto in aula, con l'ausilio di files grafici.

1) Tipologia delle quantità fisiche: grandezze scalari, vettoriali e oltre. Esempi.
2) Il concetto di vettore. Da "modulo, direzione e verso" a "elemento di uno spazio dotato di proprietà". Operazioni tra e con i vettori. Prodotto scalare e prodotto vettore. Componenti di un vettore. Equazioni vettoriali e quantità di informazioni.
3) Le leggi di conservazione per sistemi isolati in Meccanica. Quantità di moto. Momento angolare. Energia cinetica.
4) Gli urti elastici nel biliardo bidimensionale ideale (o nell'hockey da tavolo). Urto fra biglie: urti diretti centrali e gioco delle palle di Newton; urti centrali obliqui e perpendicolarità delle direzioni di uscita delle biglie. Urto biglia-sponda: angolo di incidenza=angolo di riflessione.
5) I tiri del biliardo: tiro ad una sponda "simmetrico"; tiro ad una sponda "asimmetrico"; teoria dei biliardi multipli e tiro ad n sponde.
6) Cenni al biliardo tridimensionale ideale: quali proprietà geometriche delle traiettorie si conservano e quali no?
7) Cenni al biliardo tridimensionale non ideale: che ruolo giocano gli attriti?
8) L'urto stecca-biglia e la magia del gessetto blu: i tiri ad effetto.



Matematica e scelte collettive
Alessio Delpadrone

Prerequisiti: Nessuno.

Materiale:bibliografia

Descrizione:

Attraverso la presentazione del Teorema di impossibilità (*) di Kenneth Arrow (**) si è cercato di offrire ai partecipanti uno scorcio sulla matematica e sull'attività dei matematici complementare alla tipica esperienza scolastica, prendendo le mosse da un problema concreto ed attuale. L'argomento non necessita di alcuna preparazione specifica o avanzata, né di strumenti di calcolo sofisticato, e si presta quindi ad essere "discusso" più che "esposto", mettendo così maggiormente in risalto i ruoli fondamentali della "modellizzazione" e della "dimostrazione" delle varie asserzioni, assieme alla scelta di un linguaggio specifico preciso ed efficace.

Il tema della modellizzazione matematica delle scelte collettive porta tipicamente a situazioni "paradossali", che sono tuttavia concretamenti presenti ed attive nella dinamica sociale. Detto altrimenti, non abbiano affatto soluzioni a meno di non modificare le nostre richieste... Analizzando il problema si constata inoltre l'efficienza del metodo logico-deduttivo rispetto alla pura "forza bruta" dell'analisi caso per caso.

Il Teorema di Arrow ed i concetti e risulati ad esso collegati (***) rientrano nelle applicazione della matematica all'economomia, e fanno parte degli studi di economia politica moderna. Più in generale, la teoria matematica che affronta queste tematiche è la "Teoria dei Giochi".

Lo schema dell'attività è il seguente, ciascun punto è stato "proposto" ai partecipanti come "problema aperto" per stimolare piccole discussioni, che sono poi state raffrontate con le proposte di modellizzazione matematica.

1) Presentazione del problema.

Come si può stabilire graduatorie di preferenza collettive a partire da graduatorie di preferenza individuali secondo criteri "democratici"? [Esempi "classici": Paradosso di Condorcet, elezioni statunitensi del 1976 (Ford, Carter, Regan), manipolabilità del metodo delle "elezioni con agenda".]

2) Formalizzazione.

2.1) Che cos' è una graduatoria?

I concetti matematici di "preordine" (relazione binaria riflessiva e transitiva), "preordine stretto" ed "ordine" totali su un insiemi C di candidati/opzioni. [La transitività come condizione di coerenza per una graduatoria. Raffronto col paradosso di Condorcet: la regola della "maggioranza semplice" (opportunamente formulata) non definisce un preordine se ci sono almeno almeno tre opzioni e due agenti.] L'insieme G(C) dei preordini (gradutorie) su C. [Quante sono le possibili graduatorie su 2,3,...candidati?]

2.2) Come modelliziamo le scelte di una collettività E di elettori/agenti, ciascuno con una sua graduatoria di preferenza individuale fra certe opzioni?

2.2.a) Concetto di "profilo di preferenze" di n agenti (E) con m opzioni/candidati (C) come "lista ordinata" di n graduatorie individuali (una per ciascun elettore/agente). L'insieme PP(E,C) dei profili di preferenza della collettività E sulle opzioni C: PP(E,C)=G(C)^n (prodotto cartesiano). [Danti n (agenti) ad m (opzioni), quanti sono i profili di preferenza?]

2.2.b) Leggi di benessere sociale come "applicazioni"

L : PP(E,C) --> G(C)

dall'insieme dei profili di preferenza PP(E,C) all'insieme G(C) delle graduatorie sulle opzioni C.

[Quante sono le possibili leggi di benessere sociali per tre agenti con due opzioni?]

[Rilettura del paradosso di Condorcet: la regola della "maggioranza semplice" (opportunamente formulata) non definisce una legge di benessere sociale se ci sono almeno almeno tre opzioni e due agenti. Cenno al Teorema di May: scelta fra due opzioni.]

2.3) Quali leggi sono "democratiche"?

Quali proprietà "formali" dovrebbero avere le leggi di benessere sociali L : PP(E,C) --> G(C) per poter essere considerate "democratiche"?

2.3.a) Leggi Pareto-efficienti (regola dell'unanimità).

Una legge L si dice Pareto-efficiente se ogniqualvolta, in un dato profilo di preferenze P, l'alternativa A è preferita all'alternativa B da ogni agente della collettività E, allora A è preferito a B nella graduatoria L(P) su C (graduatoria collettiva associata al profilo P mediante la legge L).

2.3.b) Indipendenza dalle alternative irrilevanti.

Una legge L si dice indipendente dalle alternative irrilevanti se, dato un qualunque profilo di preferenze P e due alternative A e B, la posizione relativa di A e B nella graduatoria L(P) dipende solo dalle posizioni relative di A e B nelle graduatorie di preferenza individuali del profilo P.

[Esempi di leggi che soddisfano/non soddisfano le due condizioni. Le leggi "costanti" sono indipendenti dalle alternative irrilevantima non Pareto-efficienti. Le "elezioni con agenda sulle opzioni" sono Pareto-efficienti, ma non indipendenti dalle alternative irrilevanti. Altri esempi. Le leggi L per cui L(P) è una graduatoria di P (per ogni profilo P) sono Pareto-efficienti, quali fra esse sono anche indipendenti dalle alternative irrilevanti?]

2.3.c) Che cos'è una dittatura?

Le leggi dittatoriali sono le "proiezioni cartesiane"
L_i : PP(E,C) --> G(C), L_i(P)= graduatoria individuale dell'agente i nel profilo P.

Le dittature sono leggi Pareto-efficienti ed indipendenti dalle alternative irrilevanti!

2.3.d) Leggi democratiche.

L è democratica se è Pareto-efficiente, indipendente dalle alternative irrilevanti e non è una dittatura.

3) Quante sono le leggi democratiche per almeno due elettori con almeno tre opzioni?

Un approccio possibile, fissati il numero n di agenti ed m di opzioni, è l'analisi caso per caso di ogni possibile legge. Ma semplici stime del numero delle possibili leggi mostrano l'impraticabilità di questa tecnica già per due elettori con tre opzioni. Tanto più che Kenneth Arrow provò nel 1951 il suo celebre

TEOREMA: ogni legge di benessere sociale Pareto-efficiente ed indipendente dalle alternative irrilevanti è dittatoriale.

L'attività si conclude analizzando alcuni passi della dimostrazione del Teorema di Arrow.

(*) Teorema: ogni legge di benessere sociale efficiente secondo Pareto ed indipendente dalle alternative irrilevanti è dittatoriale. Ovvero: non esistono leggi di benessere sociali "democratiche".

(**) Kenneth Arrow: matematico ed economista, Premio nobel per l'economia con John Hicks nel 1972.

(***) Teoremi di Kenneth May (1952) , Duncan Black (1958), Amartya Sen (1970) Gibbard-Sattherthwaite (1973)...



Problemi e congetture in aritmetica
Maria Evelina Rossi

Prerequisiti: numeri interi e divisione euclidea.

Descrizione:

Lo scopo del laboratorio è quello di far "gustare" agli studenti qualità stimolanti della matematica partendo da problematiche di facile comprensione dell'enunciato e da un linguaggio simbolico condiviso.

La scelta di svolgere l'attività di laboratorio nell'ambito dell'aritmetica è dovuta al fatto che in tale campo è necessaria solo una minima formalizzazione per trovare un linguaggio simbolico condiviso da tutti. Una breve introduzione storico-culturale ad alcune problematiche classiche ha lo scopo di fare rilevare un aspetto accattivante della matematica: quanto sia facile passare da problemi semplici a congetture che resistono nei secoli. Altro obiettivo è quello di trasmettere quanto la precisione e la capacita' di formalizzare siano qualità irrinunciabili del matematico. L'attività proposta agli studenti si è basata su problemi alla loro portata, ma sui quali è stato possibile discutere, collaborare, proporre diverse vie dimostrative, confutare asserzioni, estendere risultati a casi più generali.

L'attività è caratterizzata dal susseguirsi di 5 fasi:
Fase 1. Introduzione di un problema classico dal punto di vista storico e matematico.
Fase 2. Introduzione di concetti teorici che permettono di attaccare il problema almeno in casi particolari e la dimostrazione di un risultato significativo (ma semplice) in tale ambito.
Fase 3. Discussione con gli studenti su eventuali estensioni o diverse dimostrazioni del risultato presentato.
Fase 4. Formulazione di un problema proposto agli studenti per il quale possa risultare utile la linea dimostrativa di cui al punto 2.
Fase 5. Analisi delle soluzioni proposte dagli studenti.

Una traccia del lavoro svolto:
Partendo dalla struttura dei numeri interi, dalla divisione euclidea e dalla fattorizzazione unica in fattori primi, sono state presentate, oltre alla dimostrazione dell'infinità dei numeri primi, anche l'algoritmo euclideo per la determinazione del massimo comune divisore. Sono state discusse possibili prove dell'esistenza di infiniti numeri primi della forma 4m+1 o 4m+3. In modo naturale e' stato accennato il problema della distribuzione dei numeri primi informando gli studenti sullo stato attuale della conoscenza. Sono stati presentate alcune stimolanti proprietà dei primi di Fermat e dei primi di Mersenne. Sono stati discussi casi particolari del problema di Waring. Un accenno ad alcune applicazioni nel campo dell'informatica, della fisica e della biologia. E' stata quindi proposta una attività basata sul Crivello di Eratostene, cercando di migliorarne l'efficenza. A seguito di questa esperienza, è stato proposto il problema di determinare, fissato un qualunque intero m positivo, m interi consecutivi non primi. Come applicazione della divisione euclidea sono state affrontate le dimostrazioni dei criteri di divisibilità che i ragazzi conoscevano, ma ne ignoravano le motivazioni.



Tassellazioni nel piano e nello spazio, poliedri e solidi platonici?
Irene Scorza

Prerequisiti: concetti di base di geometria euclidea e trigonometria.

Descrizione:

Lo scopo del laboratorio è di introdurre concetti di base di teoria dei gruppi visti anche in applicazioni pratiche.

Il lavoro e' stato svolto in 7 fasi:

Fase 1. Introduzione del concetto matematico di operazione, gruppo, isometrie del piano. Teorema di Chasles sulle isometrie del piano. Viene fatta una carrellata di esempi di gruppi, le loro rappresentazioni, con particolare attenzione alle simmetrie di poligoni regolari nel piano. In questa fase si richiede agli studenti di risolvere vari esercizi e problemi.

Fase 2. Introduzione del concetto di tassellazione del piano e di dominio fondamentale. Gli studenti provano a determinare il dominio fondamentale in alcune tassellazioni presenti in pavimenti romani. Questo esercizio viene poi richiesto agli studenti dopo aver spiegato l'algoritmo matematico per determinarlo.

Fase 3. Viene enunciato il teorema di Polya sulla classificazione delle possibili 17 tassellazioni. Gli studenti cercano il tipo di tassellazione e il dominio fondamentale nei disegni di Escher.

Fase 4. Introduzione al concetto di poliedro convesso. Viene enuciato il teorema di Eulero e dimostrato attraverso la teoria dei grafi. Definizione di simmetrie fra poliedri. Solidi platonici, dimostrazione dell'esistenza di solo 5 solidi platonici e loro dualità.

Fase 5. Costruzione da parte degli studenti di solidi platonici attraverso striscie di carta colorata.

Fase 6. Tassellazione dello spazio attraverso poliedri e solidi platonici.

Fase 7. Cenno ai solidi regolari in dimensione 4 e loro tassellazione. Visione di un video sulla costruzione del iperdodecaedro.



Teoria dei grafi: i ponti di Koenisberg e il problema della colorazione delle cartine geografiche
Andrea Carbonaro, Alexandru Constantinescu

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

Lo scopo dell'attività è di dare un idea di che cosa significa "fare matematica".

L'attività si articola nelle seguenti fasi:

1) Dopo una breve introduzione storica al "problema dei sette ponti di Konigsberg" abbiamo chiesto agli studenti di pensare alla risolubilità del problema (esiste un cammino ciclico che percorre una e una sola volta i sette ponti? Se aggiungiamo o togliamo dei ponti? Ecc.)
2) Formalizzazione del problema: prime nozioni di teoria dei grafi e primi esempi di grafi, nozione di isomorfismo e di grado locale. Attraverso esercizi guidati e facendo costruire diversi tipi di grafi abbiamo cercato di far dedurre agli studenti il teorema che lega la somma dei gradi locali con il numero degli archi di un grafo.
3) Nozione di cammino e di grafo connesso, cammini euleriani e il teorema di Eulero.
4) Il problema dei ponti di Konigsberg come esempio emblematico di come si sviluppa la conoscenza matematica: dal problema particolare alla teoria generale e alle sue successive applicazioni sia all'interno della matematica sia verso le altre scienze.
5) Abbiamo introdotto il problema della colorazione di una cartina geografica in modo minimale usando varie cartine da colorare e senza svelare il Teorema dei 4 colori.
6) Abbiamo diviso gli studenti in 4 squadre e abbiamo chiesto a ciascuna squadra di costruire una cartina colorabile in modo minimale col maggior numero di colori. Poi abbiamo scambiato le cartine e chiesto di colorarle. Durante questa attività abbiamo chiesto agli studenti di riflettere su quali sono i problemi che intervengono nella colorazione delle cartine (si tratta di un problema locale? Quante regioni reciprocamente confinati si possono avere?)
7) Usando degli esempi abbiamo fatto vedere che il problema non è solo locale (abbiamo mostrato una cartina che richiede 4 colori ma che non ha più di tre stati che confinano tutti tra loro).
8) Formalizzazione del problema, grafi planari, grafi poligonali, grafo duale.
9) Usando il teorema della curva chiusa di Jordan abbiamo dimostrato la 4-colorabilità locale delle cartine (non si possono avere più di 4 regioni tutte confinati tra loro).
10) Esempi di cartine 2 e 3 colorabili e qualche teorema su questo tema.
11) Dimostrazione schematica del teorema dei 5 colori.