STAGES 2006: RELAZIONE








Calcolo Simbolico e CoCoA
Laura Bazzotti (con la collaborazione di I.Ventura e V.Bertella)

Descrizione:

La giornata di lavoro con i ragazzi si è articolata secondo tre linee principali: una parte più teorica (differenze tra calcolo simbolico e approssimato), una di carattere applicativo (introduzione al sistema di calcolo simbolico CoCoA con esempi) ed infine una parte di lavoro in cui gli studenti hanno potuto trattare alcuni problemi con CoCoA. Gli argomenti specifici trattati sono: risoluzione di equazioni di primo grado e di sistemi di equazioni lineari (con particolare attenzione ai problemi legati all'approssimazione), l'uso di radici quadrate nel calcolo simbolico ( con richiami al rapporto aureo e ai numeri di Fibonacci), il problema della fattorizzazione di polinomi ed infine il problema della colorazione delle cartine (con riferimenti alla teoria dei grafi).



Dalla divinazione binaria ai codici a correzione d'errore
Gianfranco Bo

Descrizione:

L'attività è suddivisa nelle seguenti parti. Le domande vengono poste agli studenti e insieme a loro si cerca di arrivare ad una risposta.

1. Quattro carte per leggere il pensiero
Quattro misteriose carte forate permettono di indovinare automaticamente un numero compreso fra 0 e 15, pensato da una persona onesta. Come funzionano? Dov'è il trucco? Ciascuna domanda chiede un bit d'informazione.

2. Divinazione binaria
Come si può indovinare un numero pensato, in un certo intervallo, facendo il numero minimo di domande che abbiano risposte del tipo si/no?

3. Il sorriso di Pacioli
Un antico gioco di divinazione binaria inventato da Pacioli, basato sulle classiche carte da gioco. Si esamina una pagina del De viribus quantitatis (La forza del numero).

4. Zio Hamming ti sgamma
Presentazione del codice BCD a rilevazione d'errore per mezzo di un bit di parità. Come si può indovinare un numero pensato, facendo il numero minimo di domande che hanno risposte del tipo si/no e correggendo un eventuale errore o una menzogna? Presentazione del codice di Hamming 4+3 attraverso un gioco basato su sette domande e sul piano proiettivo di Fano a sette punti (ispirato ad un'attività del prof. Caranti).

5. Codici a rilevazione d'errore intorno a noi
Come funzionano il codice fiscale e il codice ISBN? E cosa c'entrano con i giochi fatti fin'ora? Anche la classica "prova del 9" è un codice a rilevazione d'errore. Presentazione di alcuni argomenti dell'aritmetica modulare.

6. Il venerabile Beda e il suo miracoloso conteggio sulle dita
Il venerabile Beda, vissuto nel VII secolo, in una sua opera intitolata "De computo vel loquela digitorum", mostra come rappresentare i numeri da 0 a 9 utilizzando soltanto tre dita (medio, anulare e mignolo) quasi come se fossero bit. A parte il fatto che ci esce anche qualche gestaccio, la domanda è: com'è possibile? La numerazione in base 3.

7. Divinazione ternaria
Presentazione del classico gioco delle 21 carte. Estensione del gioco a 27 carte. Si indovina una carta scelta fra 27, ponendo soltanto 3 domande. Come funziona? E' possibile indovinare un numero pensato, compreso fra 0 e 26 facendo soltanto 3 domande a risposta tripla? Ciascuna domanda chiede una cifra della rappresentazione in base 3 del numero pensato.



Dalla meccanica classica alla relatività speciale
Danilo Bruno

Descrizione:

L'attività è stata incentrata sul cambiamento dei concetti di spazio, di tempo e di osservatore nel passaggio fra la meccanica classica e la relativita' speciale. Gli studenti sono stati portati a riflettere su tali concetti, a formulare ipotesi sui postulati della cinematica relativa e a dedurne le relative conseguenze. In particolare sono stati affrontati i seguenti temi

1. Riflessione sui concetti di spazio, tempo e osservatore nell'esperienza quotidiana.

2. Postulati della meccanica classica e loro conseguenze. Osservazioni sulla propagazione della luce.

3. Principio di invarianza della velocità della luce e sua incompatibilità con il punto precendente.

4. Conseguenze del punto 3 sul concetto di simultaneità.

5. Deduzione delle trasformazioni di Lorentz e conseguenze cinematiche.



Introduzione alla teoria dei grafi e loro applicazioni
Aldo Conca

Descrizione:

Lo scopo del laboratorio è introdurre i concetti di base della teoria dei grafi motivandoli con esempi che nascono da problemi concreti e portando gli studenti ad affrontare alcuni dei problemi classici della teoria. Il lavoro e' stato svolto in 6 fasi:

1) introduzione di alcuni problemi concreti apparentemente scorrelati fra di loro: posizionare i guardiani di un museo (o le telecamere di controllo all'aereoporto), realizzare circuiti stampati senza ponti, il problema del commesso viaggiatore, stivare merci un magazzino tenendo conto delle mutue incompatibilita', posizionare le ambulanze del 118 in maniera da garantire un tempo di intervento prestabilito.

2) introduzione dei concetti astratti che permettono di analizzare i problemi precedenti: il concetto di grafo, grafo semplice o con lati multipli, con o senza lacci, orientato o meno. Cammini, cicli, cammini e cicli Euleriani, cammini e cicli Hamiltoniani. Insiemi di vertici indipendenti, insieme di vertici di copertura. Grafi completi e grafi completi bipartiti.

3) Introduzione di problemi concreti descritti in termini della terminologia del punto 2) e che sono prototipi dei problemi del punto 1): n regine su una scacchiera nxn, il tour del cavallo, la passeggiata a Koenigsberg, il problema di Turan.

4) Gli studenti lavorano sui problemi del punto 3) per circa due ore.

5) Analisi delle soluzione proposte dagli studenti.

6) Per finire due dimostrazioni: il cammino di Hamilton del cavallo in una scacchiera 4x4 e' impossibile e la dimostrazione del teorema di Turan per i triangoli.



Campionati mondiali di sprints
Vincenza Del Prete

Descrizione:

L'attività svolta consiste nella presentazione, discussione e verifica di un modello proposto da J.B. Keller nel 1973 per la velocità di un atleta in una corsa di 100 metri. Il modello consiste in una equazione differenziale a coefficienti costanti dipendenti da due parametri, i cui valori furono stabiliti da Keller sperimentalmente. Il lavoro consiste nel verificare l'attualità di questi parametri sulla base dei risultati dei campionati mondiali degli ultimi anni e nel proporre un parametri adeguati ai campioni di oggi. Agli studenti è inizialmente richiesto di risolvere l'equazione diffrenziale di Keller mediante una integrazione e di usare il computer per fare un grafico della velocità, dell'accelerazione e della legge oraria del moto. Successivamente devono trovare valori dei parametri più attuali usando i risultati dei gare olimpioniche recenti. Per fare questo è necessario risolvere numericamente una equazione non lineare. Il ogni coppia di studenti ha avuto a disposizione un computer. Il linguaggio usato è il Matlab, che gli studenti non conoscevano. Sui loro computer gli studenti hanno trovato un programma che ha suggerito la sintassi da usare ad ogni passo. Alla fine è stato chiesto loro di svolgere una attività non banale in piena autonomia.



Qual e' l'ottava cifra di pi greco?
Fabio Di Benedetto

Descrizione:

L'attività ha lo scopo di mettere gli studenti a contatto con gli approcci costruttivi tipici della Matematica Computazionale. In una presentazione distribuita a tutti gli studenti vengono proposti 4 metodi diversi che hanno l'obiettivo di calcolare la costante pi greco con sufficiente precisione: i primi due richiedono essenzialmente nozioni di trigonometria, il terzo utilizza la formula di quadratura dei trapezi e richiede solo conoscenze di geometria elementare, il quarto è basato su un approccio probabilistico e da' luogo a un metodo di tipo "Montecarlo", richiedendo solo buone conoscenze informatiche. Gli studenti sono stati lasciati liberi di scegliere individualmente il metodo da sviluppare (in accordo con i prerequisiti richiesti) e sono quindi stati accorpati in piccoli gruppi di lavoro. A ogni gruppo è stata fornita un'ulteriore traccia per arrivare al risultato finale, che prevedeva anche una semplice implementazione al calcolatore in ambiente Matlab. Vista la complessità dei problemi proposti, è stata necessaria per tutti un'assidua assistenza del docente.



La matematica nella tecnologia: compressione e ricostruzione di segnali e immagini
Claudio Estatico

Descrizione:

L'attività si è svolta nel laboratorio informatico, dove, con l'ausilio dei calcolatori, si è presentata qualche applicazione della matematica nella tecnologia, anche di uso quotidiano. L'approccio teorico all'argomento è stato affrontato con una brevissima ed elementare introduzione all'analisi e sintesi di funzioni basata sulla serie di Fourier, tale da non richiedere particolari prerequisiti. Dopo una panoramica sulle due differenti tipologie di compressione, con e senza perdita di informazioni, gli studenti sono stati coinvolti in una simulazione di compressione di segnali e immagini, utilizzando in maniera autonoma semplici script Matlab preventivamente sviluppati dal docente. La tematica affrontata è alla base, ad esempio, delle tecnologie MP3 e JPEG per la compressione di segnali audio (musica) e immagini (fotografie), di uso comune proprio tra i giovani. Successivamente è stato affrontato il problema della ricostruzione di immagini. In tale attività, gli studenti sono stati invitati a migliorare l'aspetto di alcune fotografie mosse e sfocate, nuovamente utilizzando semplici script Matlab, simulando l'attività svolta, ad esempio, dalla polizia scientifica.



Polinomi simmetrici in due e tre variabili
Anthony Geramita

Descrizione:

L'attività inizia con la seguente domanda: data un'equazione di secondo grado x2 + ax + b = 0 e dette r1 e r2 le radici , è vero che si può trovare r12 + r22 senza calcolare r1 e r2? E perché?
Usando questa domanda come punto di partenza viene introdotto il concetto di funzione simmetrica in due variabili (che sono le due radici r1 e r2 ) e ragionando insieme agli studenti si arriva a capire come si può trovare r12 + r22 per ogni intero n senza calcolare le due radici. Usando questa "formula di Newton" si prova che ogni funzione simmetrica in due variabili è un polinomio in b = r1r2 e in a = r1 + r2.
Si incomincia poi una simile discussione per le equazioni di terzo grado e le funzioni simmetriche in 3 variabili. Vengono spiegati metodi per ordinare i monomi in 3 variabili e viene mostrato agli studenti come questo ordinamento che si chiama lessicografco) si puo' usare per provare risultati sulle funzioni simmetrici in 3 variabili analoghi a quelli trovati nel caso precedente.



Coincidenze di compleanni
Saverio Giulini

Descrizione:

Stephen J. Gould sosteneva che la mente umana incontra molte difficoltà nell'affrontare ragionamenti probabilistici. Forse per questo motivi alcuni fatti ci appaiono come delle incredibili coincidenze, mentre non lo sono affatto. Partendo dalla semplice constatazione che è sufficiente un gruppo di 23 persone per avere almeno il 50% di probabilità di trovarne due che festeggiano il compleanno nello stesso giorno, mentre, quando se ne vuole trovare una nata in un giorno prefissato, ce ne vogliono ben 253 per raggiungere lo stesso livello di probabilità, si è affrontato il problema generale delle coincidenze multiple di compleanni, nelle sue varie forme. Se da un lato si sono forniti gli strumenti (elementari) di calcolo combinatorio, per arrivare ad una soluzione teorica, dall'altro si è affrontato il problema della risoluzione computazionale di tali problemi, utilizzando, volutamente, un software non dedicato alla matematica e di diffusione universale, quale Excel, in modo da non trovare la "pappa già pronta", ma essere costretti a sfruttare in modo ottimale i pochi strumenti a disposizione. Come sottoprodotto delle poche nozioni di calcolo combinatorio fornite e a riprova della teoria di Gould si è "dimostrato" quanto sia difficile, per non dire impossibile, inserire in modo casuale "a mano" 200 punti in un quadrato." Agli studenti sono stati forniti 3 documenti di spiegazione, e con loro si sono realizzati (almeno in parte) quattro files Excel: materiali.



Codici a correzione d'errore
Elisa Gorla

Descrizione:

Sono state proposte due attività legate entrambe ai codici a correzione d'errore.
La prima consiste nell'indovinare un numero tra 0 e 15 con 7 domande a cui l'interlocutore possa rispondere si o no. All'interlocutore è concesso di mentire una volta (o mai). Abbiamo discusso come 4 domande siano sufficienti se l'interlocutore non mente mai, 5 se ci accontentiamo di stabilire se l'interlocutore abbia mentito o meno e indovinare il numero in caso non ci sia stata menzogna, 7 se vogliamo individuare e correggere una menzogna (errore). Il codice di Hamming (4,7) fornisce una soluzione del problema e una strategia per le 7 domande. La seconda attività consiste nello stabilire una strategia di gioco ottimale per il seguente problema: una squadra di 3 giocatori affronta un gioco (abbiamo poi ripetuto il gioco per squadre di 7 giocatori). I giocatori entrano in una stanza. Mentre entrano, a ognuno viene messo in testa un cappello rosso o un cappello blu.
Ognuno vede i cappelli degli altri giocatori, ma non il proprio. I giocatori parlano contemporaneamente e devono o dire un colore o passare. La squadra vince se almeno un giocatore indovina e nessuno passa. Una strategia ottimale si basa sul codice di Hamming (4,7) per 7 giocatori (sul codice di ripetizione per 3). Altri argomenti discussi sono stati RSA e aritmetica modulo un intero.



Pensiero matematico: astratto e concreto
Paltin Ionescu

Descrizione:

Vengono proposti tre problemi che mostrano come si passa dalla matematica elementare alla matematica "vera". Ognuno dei problemi viene discusso con gli studenti per arrivare insieme a loro ad avere una soluzione completa.

1. Si parte dal fatto che un triangolo equilatero non può avere tutti I vertici con coordinate intere, e si cerca di capire come si può generalizzare. Questo porta a una bella discussione algebrica su Z e Z[i].

2. Prendiamo un insieme S finito di numeri complessi diversi da 0, chiuso rispetto alla elevazione a potenza, cioè se z è in S allora anche zn è in S per ogni naturale n. Lo scopo è provare che il prodotto degli elementi di S è +1 o -1 e che la loro somma è un numero intero. Questo richiede una buona comprensione di cosa significa "finito" e del "principio di inclusione ed esclusione" per calcolare unioni finite di insiemi finiti.

3. Si vuole vedere che una funzione da R in R che trasforma addizione in moltiplicazione ed è continua in 0 è la funzione esponenziale o la funzione nulla. Questo illustra bene l'induzione matematica e il "principio di estensione delle identità" (qui da Q a R), usando la continuità. Per concludere vengono proposti tre problemi (non matematici!) che dimostrano l'utilità del "pensare in modo matematico". Il primo è sul Teorema di Jordan sulle curve piane e l'uso della topologia, il secondo sul principio di simmetria in geometria e l'ultimo sulla topologia combinatoria.



La sezione aurea
Giacomo Monti Bragadin

Descrizione:

I) Geometria.
Presentazione ed ove possibile soluzione di classici problemi di geometria euclidea: la divisione di un segmento in estrema e media ragione, la costruzione del pentagono regolare inscritto, la costruzione dei solidi platonici

II) Algebra.
Una volta inventati i numeri ce n'è uno, classicamente notato tau o phi, che esprime il rapporto tra l'intero segmento e la parte maggiore della divisione di cui sopra. Tale numero, oggi noto come il numero d'oro, ha espansione in frazione continua [1 1 1 1 1............] ed ha stretti legami con la famosa successione ricorsiva dei numeri di Fibonacci.

III) Storia.
Alcune rilevanti proprietà geometriche della divisione in estrema e media ragione affascinarono L. Pacioli (ca 1200), che coniò il termine Divina Proportione. Inoltre la infinita autogenerazione di tau, celata nella costruzione della spirale logaritmica e riassunta nel famoso motto di J. Bernoulli "eadem mutata resurgo", insieme ad alcune forzature di svariata provenienza (nei campi più diversi: biologico,filosofico,artistico....) hanno portato ad una esagerata valorizzazione di tau,che è alla base del cosiddetto "goldennumerismo" (si noti che il termine sezione aurea è del 1825)

IV) Conclusioni
Lasciate all'approfondimento, da parte dell'ascoltatore interessato, dei suggerimenti esposti nei punti precedenti.



Problematiche legate agli zeri di funzioni reali e applicazione del Principio di Induzione per verificare proprieta` nei naturali.
Elena Muselli

Descrizione:

Al mattino l'attività si è svolta nel laboratorio informatico. Partendo da problematiche legate agli zeri di funzioni si sono sviluppati, con l'utilizzo di programmi per tracciare grafici, l'algoritmo di bisezione ed il metodo di Newton (tangenti e secanti) determinando approssimazioni per eccesso e per difetto. Gli studenti hanno lavorato su maggiorazioni dell'errore e su applicazione del metodo di Newton anche a funzioni con "ipotesi diverse". L'attivita' della mattina è terminata con qualche grafico di funzioni in due variabili e linee di livello. Al pomeriggio l'attività si e' svolta in aula. Partendo da problemi risolvibili con ragionamenti induttivi (enigma di Russel) sono state affrontate diseguaglianze e relazioni in N con il principio di Induzione.



Analisi di Dati Multi-Dimensionali e Applicazioni
Giuseppe Patané

Descrizione:

L'attività, svolta nel laboratorio infromatico, ha presentato la visualizzazione e l'analisi di superfici tridimensionali continue e discrete, rappresentate come triangolazioni, e ha introdotto possibili applicazioni a motori di ricerca per dati multi-dimensionali. Sono state discusse analogie/differenze con lo studio di funzioni di una variabile e curve chiuse (punti critici, curvatura, campionamento e approssimazione). Infine, sono stati proposti diversi metodi per la valutazione del genere di superfici triangolate (numero di manici, formula di Eulero) con applicazioni alla deformazione e al texture mapping. A supporto del corso sono state utilizzate applicazioni Java e un tool di visualizzazione e analisi di superfici. Partecipazione, interesse e interazione con gli studenti sono stati nel complesso buoni grazie alla loro conoscenza di diversi concetti base e di alcune applicazioni delle tematiche trattate.



Giochi Matematici
Michaela Badescu e Giuseppe Rosolini - Alberto Perelli e Irene Scorza

Descrizione:

Al mattino vengono spiegati gli studenti i seguenti di algebra con dimostrazioni ed esercizi: Teorema di divisione con resto per i numeri interi. Relazioni di equivalenza.Congruenze numeriche. La definizione di Zn e la sua struttura di anello. Applicazioni. Equazioni diofantee di primo grado. Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Teorema di Eulero e la funzione di Eulero, applicazioni. Teorema di Wilson e applicazioni. Teorema del resto cinese e applicazioni. Basi di numerazione e cambiamenti di base di numerazione. Operazioni in basi diverse da quella decimale, applicazioni. Al pomeriggio si mostra agli studenti come ciò che hanno imparato alla mattina puo' essere usato per la ricoluzione di giochi matematici, e si organizzano delle gare tra gruppi di studenti. Si discutono inoltre le soluzioni da loro proposte per trovare le soluzioni migliori.



Passeggiata aleatoria nella probabilità
Emanuela Sasso

Descrizione:

Lo scopo di questa attività dello stage è stato quello di introdurre alcuni concetti di probabilità: in particolare la definizione di media-speranza di una variabile aleatoria discreta, legge dei grandi numeri, passeggiate aleatorie. In particolare si è cercato di dedurre definizioni e risultati da problemi e quesiti più o meno classici e utilizzando alcuni programmi di simulazione. Nella scheda allegata, si trovano i punti di partenza e un brevissimo riassunto della teoria sulle passeggiate casuali.