STAGES 2012: RELAZIONE

questionari degli studenti








Applicazioni della statistica
Maria Piera Rogantin

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

Ai ragazzi vengono proposti alcuni problemi statistici da risolvere utilizzando il software statistico MINITAB. In particolare si porta gli studenti a riflettere su:
-) gli indici di centralità, partendo dalla frase "La maggior parte degli automobilisti sostiene di guidare meglio della media";
-) i percentili, analizzando i dati riguardanti i bambini della Giordania raccolti dall'organizzazione non governativa Medchild.
Infine si introduce uno strumento più complesso di classificazione e rappresentazione dati: la cluster analysis.



Colorabilità dei grafi
Micol Spinelli e Matteo Varbaro

Prerequisiti: saper contare, sapere cos'è un insieme

Descrizione:

1) Abbiamo chiesto agli studenti di individuare una relazione fra vertici, spigoli e facce di un solido convesso, facendoli arrivare alla formula di Eulero.
2) Formalizzazione del problema: prime nozioni di teoria dei grafi e primi esempi di grafi, nozione di grafo semplice, di grafo piano e planare e di facce di un grafo piano. Equivalenza del Teorema di Eulero per solidi convessi con l'analogo teorema per grafi piani.
3) Definizione di ciclo, di albero e di grafo duale di un grafo piano. Dimostrazione del Teorema di Eulero per grafi piani.
4) Problema della colorazione di cartine geografiche: facendo colorare certe cartine agli studenti li abbiamo convinti che 4 colori sono sempre sufficienti (in realtà uno già lo sapeva!). Gli abbiamo anche fatto dimostrare che 4 colori sono necessari per colorare certe cartine.
5) Cenni storici al Teorema dei 4 colori.
6) Definizione di k-colorabilità di un grafo e spiegazione del fatto che dimostrare il teorema dei 4 colori equivale a dimostrare che un grafo piano è 4-colorabile.
7) Definizione di grado locale. Facendo costruire diversi tipi di grafi abbiamo fatto dedurre agli studenti il teorema che lega la somma dei gradi locali con il numero degli archi di un grafo. Analogamente gli abbiamo fatto capire il legame fra somma del numero di lati che delimitano una faccia e il numero degli archi. Usando quest'ultimo fatto e il Teorema di Eulero, abbiamo dimostrato che il grafo completo su 5 vertici non è planare e che ogni grafo planare è 6-colorabile.
8) Problema del minimo numero di guardiani che servono per sorvegliare un museo con n pareti. Dimostrazione del fatto che [n/3] guardiani bastano sempre, basata sul fatto che certi grafi sono 3-colorabili. Dimostrazione che per certi musei con n pareti non è possible mettere meno di [n/3] pareti.



Colori, Grafi e Poliedri
Stefano Vigogna

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

Presentazione: il problema della colorazione delle cartine geografiche

-) Laboratorio: tentativi pratici ed elaborazione di una congettura
-) Il Teorema dei 4 colori: enunciato e storia
-) Laboratorio: un controesempio impossibile e un controesempio falso
-) Formalizzazione del problema: la teoria dei grafi
-) Definizione di grafo (semplice) planare
-) Laboratorio: rappresentazione piana di grafici planari
-) Osservazione: K5 non è planare
-) Laboratorio: una relazione numerica fra vertici, archi e facce
-) La formula di Eulero: enunciato e storia
-) Osservazione: la formula di Eulero per tetraedri e cubi
-) Digressione: poliedri convessi
-) Dimostrazione: formula di Eulero per poliedri convessi
-) Digressione: i 5 solidi platonici
-) Due dimostrazioni del teorema di classificazione
-) Digressione: la caratteristica di Eulero
-) Dimostrazione: formula di Eulero per gli alberi
-) Due dimostrazioni della formula di Eulero
-) Lemma: un'altra relazione fra archi e facce
-) Applicazioni: K5 non è planare
-) Laboratorio: disegnare K5 e K3,3 con un solo incrocio, mappe corrispondenti
-) Due corollari: grado massimo e Teorema dei 6 colori (principio di induzione)
-) Un passo in più: il Teorema dei 5 colori
-) Conclusioni: formalismo e creatività in Matematica



Contare l'infinito
Ruggero Pagnan

Prerequisiti: elementare familiarità con la nozione di funzione

Descrizione:

L'attività svolta è stata finalizzata alla discussione del concetto di infinito nel contesto matematico. Si è partiti da un inquadramento storico che richiamasse le due principali posizioni sull'argomento: infinito potenziale, Gauss, e infinito attuale, Cantor.
La rimanente parte della attività è consistita nella introduzione della necessaria terminologia e dei necessari concetti matematici, al fine di poter dimostrare alcuni teoremi fondamentali.
L'attività svolta è suddivisibile nelle seguenti fasi, con soluzione di continuità tra di esse:

Prima Fase Introduzione della terminologia e dei prerequisiti tecnici minimali: insiemi e funzioni principalmente, nonché i numeri naturali con cenni al principio di induzione e alle definizioni per ricorsione.
Seconda Fase Discussione del "problema dell'infinito" con introduzione storica: "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze", Galileo 1638, equinumerosità dei numeri naturali con i loro quadrati. Insiemi numerabili e biezioni notevoli: "coda di rondine" in particolare. Teorema di Cantor e argomento diagonale: idea della dimostrazione e dimostrazione formale del teorema attraverso un teorema generale di punto fisso dovuto a F.W. Lawvere.



Formula di Bayes e i test diagnostici
Vincenzo Fontana - Maria Piera Rogantin - Laura Boni - Laura Maggi

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

L'obiettivo di questa attività è stato quello di far vedere ai ragazzi come utilizzare il concetto di probabilità condizionata, sottolineandone l'importanza dei test diagnostici in medicina e nelle perizie processuali.
Dopo una introduzione sulla formula di Bayes, i ragazzi sono stati invitati a riflettere assieme su alcuni problemi di probabilità condizionata (falsi positivi e falsi negativi nel test diagnostico di malattie come HIV). Questi esercizi hanno sottolineato l'importanza della stima delle probabilità a priori e posteriori. Per capire l'utilizzo erroneo della probabilità, gli studenti hanno ripercorso in maniera critica le fasi del processo di Sally Clark, una donna inglese che negli anni novanta fu condannata per aver ucciso i suoi due figli e, in seguito, fu assolta.



Giochi matematici
Mihaela Badescu - Giuseppe Rosolini

Prerequisiti: nessuno

Materiale:Dispense di Algebra (Prof. Mihaela Badescu)

Descrizione:

L'attività è divisa in due fasi ben distinte:

1. Vengono spiegati agli studenti i seguenti concetti di algebra con dimostrazioni ed esercizi:

a) Teorema di divisione con resto per i numeri interi.
b) Relazioni di equivalenza. Congruenze numeriche.
c) Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Teorema di Eulero e la funzione di Eulero, applicazioni. Teorema di Wilson e applicazioni. Teorema del resto cinese e applicazioni.
d) Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Teorema di Eulero e la funzione di Eulero, applicazioni. Teorema di Wilson e applicazioni. Teorema del resto cinese e applicazioni.
e) Basi di numerazione e cambiamenti di base di numerazione. Operazioni in basi diverse da quella decimale, applicazioni.

2. Si mostra agli studenti come ciò che hanno imparato può essere usato. Si discutono inoltre le soluzioni da loro proposte per trovarne di migliori.

a) Si ricorda la costruzione ricorrente del Triangolo di Tartaglia-Pascal e si studiano le costruzioni di alcuni frattali di Sierpinski come riproduzione della costruzione del triangolo modulo 2, 3, e altri.
b) Si affrontano poi due puzzle matematici la cui soluzione è alquanto sorprendente:
(i) un metodo per indovinare un numero pensato che sfrutta la base binaria per i numeri
(ii) un metodo per permettere di trasmettere informazione che sfrutta l'aritmetica modulare.

In entrambi i casi, la motivazione sorprendente spinge gli studenti a cercare di comprendere più a fondo quanto imparato nella prima fase.



Google: come la matematica può far diventare ricchi
Fabio Di Benedetto

Prerequisiti: conoscenza di base del concetto di probabilità capacità di risolvere sistemi di equazioni di primo grado.

Materiale:
D.Bini, Matematica e Mondo Reale: il problema di Google e altre storie
Presentazione dell'attività ed esempi
Traccia di svolgimento delle varie fasi

Descrizione:

Il lavoro è svolto in 8 fasi.

1) Dopo aver brevemente illustrato agli studenti gli scopi dell'attività, viene distribuita a tutti una presentazione su carta del problema, in cui vengono anche descritti 3 esempi di diversa complessità che saranno oggetto delle simulazioni. Si inizia quindi la presentazione su schermo della traccia di svolgimento.
2) Partendo dal primo esempio (una ipotetica situazione in cui 5 pagine web sono tra loro collegate), viene introdotto il linguaggio matematico dei grafi che permette una migliore visualizzazione del problema e la generalizzazione ad altre situazioni concrete (come il secondo esempio).
3) Si introduce la "passeggiata casuale"; viene mostrato come calcolare ad ogni passo la probabilità che una singola pagina venga visitata. Fissata una pagina di partenza, ad ogni studente si assegna una specifica pagina dell'esempio, su cui avrà il compito di calcolare la rispettiva probabilità a questo punto gli studenti lavorano simultaneamente e si scambiano i risultati, fino a che le probabilità non si stabilizzano ad un valore limite..
4) Si studia la dipendenza del risultato ottenuto dalla pagina di partenza. A tale scopo, ad ogni studente si assegna una diversa configurazione di partenza sulla quale deve calcolare, indipendentemente dagli altri, i valori limite corrispondenti a tutte le pagine.
5) Avendo osservato che il valore limite non dipende dal punto di partenza, viene introdotta l'interpretazione matematica dei valori limite, che rappresentano l'importanza delle singole pagine, come soluzioni di un opportuno sistema di equazioni lineari.
6) Vengono fornite le istruzioni necessarie per l'implementazione al calcolatore in ambiente Matlab. Ogni studente procede al calcolo delle passeggiate casuali sul secondo esempio (collegamenti ferroviari tra le 11 province della Lombardia) a partire da stazioni diverse. Viene enunciato un teorema di esistenza e unicità dei valori limite; viene quindi descritta la tecnica di "teletrasporto" (dipendente da un parametro) per garantire le ipotesi del teorema.
7) Ogni studente implementa la tecnica sul terzo esempio (300 pagine web collegate all'Università di Harvard), selezionando un diverso parametro e confrontando la velocità di convergenza con le scelte degli altri.
8) Viene infine discussa la complessità computazionale dei vari metodi (passeggiata casuale, calcolo diretto risolvendo il sistema lineare) con particolare riferimento alla dipendenza dal parametro di teletrasporto, traendone conclusioni e accennando ai problemi aperti della ricerca nel campo.



Il computer e la matematica: una relazione burrascosa
Claudia Fassino - Giulio Ferrari

Prerequisiti: soluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite - il concetto di retta in geometria analitica.

Descrizione:

Il lavoro è stato svolto in aula e in laboratorio PC.
Aula:

1) Semplice schematizzazione di un computer e descrizione del problema legato alla finitezza dello spazio per la memorizzazione dei dati usando la virgola mobile (floating point) con t cifre.
2) Gli studenti lavorano su semplici problemi (intersezione di rette) volti a sottolineare l'influenza della perturbazione dei dati sul risultato. Segue una breve discussione sugli effetti della memorizzazione dell'input su un numero finito di cifre.
3) Semplice descrizione di come vengano effettuate dal computer alcune operazioni aritmetiche utilizzando numeri floating point.
4) Gli studenti eseguono operazioni floating point per evidenziare la non validità, in tale contesto, di semplici proprietà aritmetiche quali la proprietà associativa.

Laboratorio:
1) Breve introduzione all'uso di MatLab.
2) Gli studenti verificano, utilizzando MatLab, le nozioni introdotte in aula.
3) Definizione/descrizione della funzione esponenziale. Discussione sulla possibilità di approssimare tale funzione seguendo diverse strategie a seconda del tipo di esponente.



La teoria dei giochi
Stefano Gagliardo

Prerequisiti: concetto di funzione e di equazione e disequazione.

Materiale: la presentazione è disponibile sulla mia pagina web

Descrizione:

L'attività è stata basata sulla spiegazione interattiva di alcuni concetti base della Teoria dei Giochi, con lo scopo di attirare il più possibile l'attenzione degli studenti.
Dopo una breve introduzione storica e una sintesi di cosa sia effettivamente la Teoria dei Giochi, si è passati all'introduzione della "Teoria delle scelte sociali" fino ad arrivare al Teorema di impossibilità di Arrow.
In seguito, gli studenti sono stati chiamati a "giocare" in famose situazioni quali il "Dilemma del prigioniero" e la "Battaglia dei sessi" al fine di introdurre il concetto di Equilibrio di Nash. Altri giochi che ricoprono una certa importanza in letteratura sono stati successivamente usati per introdurre altri concetti importanti: l'"Ultimatum Game" e la "Roulette russa" per il concetto di utilità la "One Dollar Auction" e il "Beauty Contest" per il concetto di razionalità.
Proseguendo, sono state proposte altre situazioni di interazione al fine di coinvolgere gli studenti e di far vedere loro ulteriori applicazioni della materia in questione. In particolare, sono stati proposti alcuni giochi con le carte (detti "Take Away Games") che hanno permesso di far vedere una dimostrazione teorica della soluzione di un gioco.
La presentazione si è conclusa poi con la presentazione di una applicazione concreta della Teoria dei Giochi al problema della localizzazione di ambulanze, facente parte del mio programma di ricerca, e con una discussione sul problema stesso.



Le leggi di conservazione in meccanica e la geometria del biliardo 
Stefano Pasquero

Prerequisiti: il concetto di vettore - concetti di base di Fisica (velocità, forza...).

Descrizione:

Il lavoro è stato svolto in aula, con l'ausilio di files grafici.

1) Tipologia delle quantità fisiche: grandezze scalari, vettoriali e oltre. Esempi.
2) Il concetto di vettore. Da "modulo, direzione e verso" a "elemento di uno spazio dotato di proprietà". Operazioni tra e con i vettori. Prodotto scalare e prodotto vettore. Componenti di un vettore. Equazioni vettoriali e quantità di informazioni.
3) Le leggi di conservazione per sistemi isolati in Meccanica. Quantità di moto. Momento angolare. Energia cinetica.
4) Gli urti elastici nel biliardo bidimensionale ideale (o nell'hockey da tavolo). Urto fra biglie: urti diretti centrali e gioco delle palle di Newton; urti centrali obliqui e perpendicolarità delle direzioni di uscita delle biglie. Urto biglia-sponda: angolo di incidenza=angolo di riflessione.
5) I tiri del biliardo: tiro ad una sponda "simmetrico"; tiro ad una sponda "asimmetrico"; teoria dei biliardi multipli e tiro ad n sponde.
6) Cenni al biliardo tridimensionale ideale: quali proprietà geometriche delle traiettorie si conservano e quali no?
7) Cenni al biliardo tridimensionale non ideale: che ruolo giocano gli attriti?
8) L'urto stecca-biglia e la magia del gessetto blu: i tiri ad effetto.



Oltre Penrose: tassellazioni non periodiche del piano, spirali o radiali.
Giacomo Monti Bragadin

Prerequisiti: Familiarità con la geometria euclidea del piano, le operazioni sui numeri complessi, la riducibilità dei polinomi, combinatorica elementare

Descrizione:

1) Generalità su curve piane, in particolare spirali.
Cenni alla spirale di Archimede ed alla sua approssimazione poligonale più nota: la spirale di Teodoro. La spirale logaritmica o equiangolare: approssimazione con spezzate, proprietà di autosimilarità e congruenza, la "spira mirabilis" di Bernoulli, la spirale aurea.
2) Tassellazioni spirali con mattonelle simili.
Partendo da spirali poligonali e procedendo per interpolazione è possibile costruire tassellazioni spirali del piano p.es. con triangoli simili ("30-60-90"). Altrimenti si ottengono tassellazioni del tipo richiesto facendo agire la mappa esponenziale del piano complesso in sé su una tassellazione periodica. Si esamina qualche facile esempio.
3) Tassellazioni inflative con simmetria radiale.
Il procedimento di inflazione, che è una delle caratteristiche dei tilings di Penrose, conduce in modo "naturale" alla costruzione di tassellazioni del piano con simmetria radiale, invarianti per rotazioni di con n dispari. L'esempio n=7 viene svolto nei dettagli. In particolare si riconosce che il problema si riduce a trovare un polinomio intero irriducibile P di grado tre tale che P si spezzi nel prodotto di due analoghi polinomio di grado tre. Si prova che tale procedura funziona anche nei casi n=5,9,11.
4) Tassellazioni spirali e successioni ricorsive di numeri interi.
Si parte dalla tassellazione (spirale) di rettangoli aurei, legata alla successione dei numeri di Fibonacci, e dalla analoga di triangoli equilateri, legata alla successione dei numeri di Perrin. Qualche nuovo esempio è proposto.



Problemi esemplari di matematica ricreativa, da Alcuino da York a Lothar Collatz.
Gianfranco Bo

Prerequisiti: Aritmetica e geometria elementari, numeri irrazionali.

Materiale: un file con la formulazione dettagliata dei problemi proposti

Descrizione:

Scopo dell'attività è affrontare alcuni problemi "non standard" rispetto a quelli che si incontrano normalmente nella scuola superiore.
Il lavoro si è svolto in un clima di cooperazione, condividendo, discutendo e perfezionando i risultati parziali via via proposti dai singoli studenti. Il percorso proposto è il seguente.

1) Alcuino da York (Regno di Northumbria, 735 - Tours, 19 maggio 804)
a) Il problema della jeep (formulazione moderna)
2) Leonardo Pisano, detto Fibonacci (Pisa, 1170 - Pisa, 1240)
a) I conigli di Fibonacci
b) La sequenza di Fibonacci e il rapporto aureo
c) La maschera aurea
3) Fra' Luca Bartolomeo de Pacioli (Borgo Sansepolcro, 1445 circa - Roma, 19 giugno 1517)
a) Divinazione binaria
b) Divinazione ternaria
c) Il gioco delle 27 carte
4) Kazimierz Kuratowski (Varsavia, 2 febbraio 1896 - Varsavia, 18 giugno 1980)
a) Le tre case e le tre fonti sul toro
5) Piet Hein (Copenaghen, 16 dicembre 1905 - Fionia, 17 aprile 1996)
a) Il soma cube
6) Lothar Collatz (6 luglio 1910, Arnsberg , Westfalia - 26 settembre 1990, Varna , Bulgaria )
a) Il problema 3n+1



Qual è l'ottava cifra di π?
Fabio Di Benedetto

Prerequisiti: variano in base alla traccia scelta.

Materiale: Il lavoro si ispira al paragrafo 1.4 del libro R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Introduzione alla matematica computazionale. Zanichelli, Bologna, 1987.

Presentazione dell'attività

tracce di svolgimento: metodo1 metodo2 metodo3 metodo4

Ulteriore proposta di lavoro per gli studenti più rapidi, relativa al calcolo numerico della radice quadrata col metodo delle tangenti (richiede conoscenze di geometria analitica). con la formulazione dettagliata dei problemi proposti

Descrizione:

Il lavoro è svolto in 6 fasi.

1) Dopo aver brevemente illustrato agli studenti gli scopi dell'attività, viene distribuita a tutti una presentazione del problema, in cui vengono proposti 4 metodi diversi che hanno l'obiettivo di calcolare la costante π con sufficiente precisione.
2) Gli studenti vengono informati sui prerequisiti necessari per affrontare i diversi metodi: i primi due richiedono essenzialmente nozioni di trigonometria, il terzo utilizza la formula di quadratura dei trapezi e richiede solo conoscenze di geometria elementare, il quarto è basato su un approccio probabilistico e dà luogo a un metodo di tipo "Montecarlo", richiedendo solo buone conoscenze informatiche.
3) Gli studenti sono lasciati liberi di scegliere individualmente il metodo da sviluppare (in accordo con i prerequisiti richiesti e la propria preparazione scolastica); una volta effettuata la scelta, vengono quindi accorpati in piccoli gruppi di lavoro (uno per ogni metodo).
4) A ogni gruppo viene fornita un'ulteriore traccia per arrivare alla stesura del metodo che porterà al risultato finale. Vista la complessità dei problemi proposti, gli studenti vengono guidati attraverso un'assidua assistenza da parte del docente.
5) Appena un gruppo ha completato la stesura del metodo scelto, viene guidato ad una semplice implementazione al calcolatore in ambiente MatLab.
6) Vengono analizzati e spiegati i risultati ottenuti al calcolatore, mettendo in evidenza vantaggi e svantaggi del metodo scelto dal gruppo; per quanto possibile, i diversi gruppi vengono fatti interagire a posteriori tra di loro per confrontare le prestazioni dei rispettivi metodi.



Ragionamento Logico Diagrammatico
Ruggero Pagnan

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

L'attività svolta è consistita nella introduzione al ragionamento logico formale attraverso la discussione di alcune nozioni fondamentali come quella di negazione, regola di inferenza, dimostrazione formale, sistema formale, sintassi e semantica, esempio e controesempio. In particolare, l'attività si è concentrata sulla discussione di alcune forme di ragionamento logico diagrammatico, cioè supportato da formalismi di natura prevalentemente iconica, attraverso il confronto con l'usuale ragionamento logico supportato da un formalismo di natura prevalentemente simbolico-linguistico. Questo confronto si è basato anche su analogie tratte da altri contesti matematici come quello tra espressione analitica di una funzione e corrispondente rappresentazione grafica. Sono stati considerati anche gli aspetti storici legati allo sviluppo degli argomenti trattati.

L'attività svolta è suddivisibile nelle seguenti fasi, con soluzione di continuità tra di esse.

Prima fase.
Aristotele e la Logica: descrizione del contesto storico-filosofico originale con riferimento alle problematiche di carattere linguistico-semiotico che hanno portato Artistotele e i membri della sua scuola ad intraprendere un approccio scientifico alla sistemazione della Logica e in essa del ragionamento sillogistico in particolare.

Seconda fase.
Introduzione e discussione critica di alcuni princìpi fondamentali del ragionamento logico-deduttivo, e di alcune nozioni tecniche utili allo svolgersi della attività, la cui comprensione è stata facilitata dalla presentazione di esempi pertinenti, con collegamenti storici a diversi contesti della matematica.

Terza fase.
Introduzione al ragionamento diagrammatico, ovvero al calcolo diagrammatico: discussione formale dei diagrammi di Venn, confronto con altri formalismi diagrammatici: diagrammi di Eulero e "spicular notation" di Augustus De Morgan, in particolare. Cenni a formalismi diagrammatici provenienti da altri contesti scientifici: i diagrammi di Feynman. Introduzione alla teoria del sillogismo categorico, con motivanti collegamenti all'informatica. Trattazione medievale di tale teoria e confronto tra l'approccio Aristotelico originario e quello messo in atto attraverso l'adozione dei precedenti calcoli diagrammatici. Descrizione di un calcolo diagrammatico di recente scoperta finalizzato al ragionamento sillogistico.



Sistemi dinamici e leggi di Keplero
Nicola Pinamonti

Prerequisiti: conoscenza del concetto di integrale definito

Descrizione:

L'attività svolta è stata suddivisa in due parti.

Nella prima parte dello stage I ragazzi hanno visto come in natura le equazioni differenziali descrivano il comportamento dinamico di innumerevoli sistemi sia semplci che complessi. Purtroppo esse non risulano quasi mai analiticamente integrabili. Nonostante questo ostacolo, I ragazzi hanno visto come sia spesso possibile trarre delle conclusioni sul comportamento qualitativo delle loro soluzioni. Infatti è stato enunciato loro il Teorema di Cauchy. Ne hanno apprezzato la potenza nell'analisi del diagramma di fase delle soluzioni di equazioni differenziali autonome. Dall'analisi, anche qualitativa, dei loro diagrammi di fase si è potuto infatti introdurre il concetto di stabilità almeno in forma intuitiva. Gli studenti hanno visto come in questo modo, sia possibile studiare il comportamento dinamico del pendolo reale (senza l'usuale approssimazione delle piccole oscillazoni) anche senza conoscere analiticamente la sua legge oraria.

Nella seconda parte dell'attività sono state utilizzate tutte le tecniche viste durante la prima parte per studiare le tre leggi di Keplero che descrivono il moto dei pianeti intorno al sole. Gli studenti hanno visto come esse possano in realtà essere dedotte dalle leggi di Newton utilizzando sia la conservazione del momento angolare che dell'energia.



Un calcolo diagrammatico per i sillogismi
Fabio Pasquali

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

L'attività svolta è consistita nella analisi del ragionamento sillogistico in una prospettiva ad ampio spettro, dal suo primissimo delinearsi nell'ambito della scuola aristotelica fino ai più recenti sviluppi nel contesto dell'informatica teorica. Di centrale importanza è stata la descrizione di un metodo di calcolo basato su un formalismo puramente grafico, capace di rendere esplicito il procedimento di deduzione logica proprio di tale forma di ragionamento. Possono riconoscersi quattro fasi.

Prima fase: Descrizione di un inquadramento storico-filosofico dell'argomento. Vengono sottolineate le problematiche di carattere linguistico che hanno portato Artistotele, e i membri della sua scuola, ad inaugurare, su criteri di assoluta modernità, un approccio scientifico alla logica e, in particolare, al ragionamento sillogistico.

Seconda fase: Introduzione e discussione di alcuni principi fondamentali del ragionamento logico-deduttivo e di alcune nozioni tecniche, utili allo svolgersi della attività, la cui comprensione è stata aiutata dalla presentazione di esempi, tratti da diversi contesti della matematica.

Terza fase: Introduzione alla teoria del sillogismo categorico, con motivanti collegamenti all'informatica. Trattazione medievale di tale teoria e suo confronto con l'approccio Aristotelico originario. Analisi e discussione della struttura formale dei sillogismi.

Quarta fase: Introduzione di un metodo di calcolo di recente invenzione per l'inferimento di conclusioni sillogistiche, basato su un formalismo completamente grafico. Confronto di tale metodo con i ben noti diagrammi di Venn, discutendo la natura algoritmica del primo rispetto al secondo. Esempi di utilizzo di entrambi i metodi. Introduzione alla nozione di controesempio e di dimostrazione formale.

Verso l'infinito e oltre
Fabio Pasquali

Prerequisiti: La nozione di funzione (non strettamente necessario)

Descrizione:

L'attività svolta è consistita nella discussione della nozione di infinito, a partire dal più familiare concetto di infinito potenziale per giungere alla più moderna definizione di Cantor. Dopo la presentazione del concetto di infinito potenziale e la discussione di alcune difficoltà di calcolo legate a tale nozione, sono steti introdotti, e commentati, i concetti di insieme e quello di funzione. Di quest'ultimo, in particolare, si è data la definizione formale e si sono discusse le proprietà necessarie per introdurre la definizione di Cantor di insieme infinito. E' stata dimostrata l'equinumerosità di alcuni insiemi infiniti, portando, come aiuto alla comprensione, il celebre esempio dell'albergo di Hilbert. Ha fatto seguito la dimostrazione dell'importante teorema di punto fisso e dei conseguenti corollari di Cantor e Russel. Il lavoro si è concluso discutendo l'esistenza (necessaria) di infiniti di ordine superiore a quello dell'insieme dei numeri naturali.