STAGES 2007: RELAZIONE

questionari degli studenti








Coincidenze
Saverio Giulini

Prerequisiti: nessuno

Materiale:archivio files

Descrizione:

Lo scopo di questa attività è come affrontare, da diversi punti di vista e con differenti metodologie elementari, alcuni problemi probabilistici che portano a risultati apparentemente anti-intuitivi Stephen J. Gould sosteneva che la mente umana incontra molte difficoltà nell'affrontare ragionamenti probabilistici. Forse per questo motivo alcuni fatti ci appaiono come delle incredibili coincidenze, mentre non lo sono affatto. Partendo dalla semplice constatazione che è sufficiente un gruppo di 23 persone per avere almeno il 50% di probabilità di trovarne due che festeggiano il compleanno nello stesso giorno, mentre, quando se ne vuole trovare una nata in un giorno prefissato, ce ne vogliono ben 253 per raggiungere lo stesso livello di probabilità, si è affrontato il problema generale delle coincidenze multiple di compleanni, nelle sue varie forme. Se da un lato si sono forniti gli strumenti (elementari) di calcolo combinatorio, per arrivare ad una soluzione teorica, dall'altro si è affrontato il problema della risoluzione computazionale di tali problemi, utilizzando, volutamente, un software non dedicato alla matematica e di diffusione universale, quale Excel, in modo da non trovare la "pappa già pronta", ma essere costretti a sfruttare in modo ottimale i pochi strumenti a disposizione. Come sottoprodotto delle poche nozioni di calcolo combinatorio fornite e a riprova della teoria di Gould si è "dimostrato" quanto sia difficile, per non dire impossibile, inserire in modo casuale "a mano" 200 punti in un quadrato."



Giochi matematici
Mihaela Badescu - Giuseppe Rosolini

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

Lo scopo di questa attività è insegnare agli studenti concetti di algebra astratta e mostrare come possono essere applicati per proporre sorprendenti puzzle matematici.

L'attività è divisa in due fasi ben distinte:

1. Vengono spiegati agli studenti i seguenti concetti di algebra con dimostrazioni ed esercizi: Teorema di divisione con resto per i numeri interi. Relazioni di equivalenza. Congruenze numeriche. La definizione dell'anello degli interi modulo n e la sua struttura. Applicazioni. Equazioni diofantee di primo grado. Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Teorema di Eulero e la funzione di Eulero, applicazioni. Teorema di Wilson e applicazioni. Teorema del resto cinese e applicazioni. Basi di numerazione e cambiamenti di base di numerazione. Operazioni in basi diverse da quella decimale, applicazioni.

2. Si mostra agli studenti come ciò che hanno imparato alla mattina può essere usato per la risoluzione di giochi matematici, e si organizzano delle gare tra gruppi di studenti. Si discutono inoltre le soluzioni da loro proposte per trovare le soluzioni migliori.



Tassellazioni del piano
Irene Scorza

Prerequisiti: nozioni di base di trigonometria

Descrizione:

L'attività ha lo scopo di presentare un'applicazione molto pratica (pavimenti e disegni di Escher) di un argomento molto astratto quale la teoria dei gruppi



L'attività si articola nelle seguenti fasi:

1. L'attività inizia con la descrizione e definizione di tassellazione di poligoni regolari e di isometrie di figure. Viene poi enunciato il teorema di Chasles sulle isometrie del piano.

2. Vengono dati dei foglietti agli studenti (tipo piastrelle) per ricostruire pavimenti in tanti modi diversi. Si vedono su questa applicazione quali sono le isometrie.

3. Vengono introdotti i gruppi, prima la teoria e poi molti esempi, soprattutto sulle trasformazioni che lasciano invariati i poligoni regolari e non. Gli studenti devono rappresentare alcuni gruppi con le tabelle.

4. Definizione di dominio fondamentale. Gli studenti provano a trovare il dominio fondamentale in alcune tassellazioni presenti in pavimenti romani. Poi viene dato un criterio per determinare il dominio fondamentale e successivamente gli studenti riprovano a trovarlo nei pavimenti.

5. Enunciato del teorema di Polya sulla classificazione delle possibili 17 tassellazioni. Gli studenti cercano il tipo di tassellazione e il dominio fondamentale nei disegni di Escher.



Teoria dei grafi: i ponti di Koenisberg e il problema della colorazione delle cartine geografiche
Andrea Carbonaro, Alexandru Constantinescu

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

Lo scopo dell'attività è di dare un idea di che cosa significa "fare matematica".

L'attività si articola nelle seguenti fasi:

1) Dopo una breve introduzione storica al "problema dei sette ponti di Konigsberg" abbiamo chiesto agli studenti di pensare alla risolubilità del problema (esiste un cammino ciclico che percorre una e una sola volta i sette ponti? Se aggiungiamo o togliamo dei ponti? Ecc.)
2) Formalizzazione del problema: prime nozioni di teoria dei grafi e primi esempi di grafi, nozione di isomorfismo e di grado locale. Attraverso esercizi guidati e facendo costruire diversi tipi di grafi abbiamo cercato di far dedurre agli studenti il teorema che lega la somma dei gradi locali con il numero degli archi di un grafo.
3) Nozione di cammino e di grafo connesso, cammini euleriani e il teorema di Eulero.
4) Il problema dei ponti di Konigsberg come esempio emblematico di come si sviluppa la conoscenza matematica: dal problema particolare alla teoria generale e alle sue successive applicazioni sia all'interno della matematica sia verso le altre scienze.
5) Abbiamo introdotto il problema della colorazione di una cartina geografica in modo minimale usando varie cartine da colorare e senza svelare il Teorema dei 4 colori.
6) Abbiamo diviso gli studenti in 4 squadre e abbiamo chiesto a ciascuna squadra di costruire una cartina colorabile in modo minimale col maggior numero di colori. Poi abbiamo scambiato le cartine e chiesto di colorarle. Durante questa attività abbiamo chiesto agli studenti di riflettere su quali sono i problemi che intervengono nella colorazione delle cartine (si tratta di un problema locale? Quante regioni reciprocamente confinati si possono avere?)
7) Usando degli esempi abbiamo fatto vedere che il problema non è solo locale (abbiamo mostrato una cartina che richiede 4 colori ma che non ha più di tre stati che confinano tutti tra loro).
8) Formalizzazione del problema, grafi planari, grafi poligonali, grafo duale.
9) Usando il teorema della curva chiusa di Jordan abbiamo dimostrato la 4-colorabilità locale delle cartine (non si possono avere più di 4 regioni tutte confinati tra loro).
10) Esempi di cartine 2 e 3 colorabili e qualche teorema su questo tema.
11) Dimostrazione schematica del teorema dei 5 colori.

La matematica nella tecnologia: compressione e ricostruzione di segnali e immagini
Claudio Estatico

Prerequisiti: conoscenza del concetto di integrale definito (non occorre saper far calcoli)

Descrizione:

Lo scopo dell'attività è presentare in maniera semplice alcune applicazioni della matematica nella tecnologia di uso quotidiano.

Le tematiche affrontate spaziano dalla compressione di segnali audio e video, con e senza perdita di informazioni, alla ricostruzione di immagini mosse e sfocate. Tali tecniche sono alla base, ad esempio, delle tecnologie MP3, JPEG e MP4, per la compressione di musica e video, e sono largamente utilizzate proprio dai giovani. L'attività viene interamente svolta nei laboratori informatici, utilizzando al calcolatore semplici programmi preventivamente sviluppati dal docente.

L'attività è stata svolta in 3 fasi:

1. Nella prima fase l'approccio teorico all'argomento è stato affrontato con una brevissima ed elementare introduzione all'analisi e sintesi di funzioni basata sulla serie di Fourier, tale da non richiedere particolari prerequisiti.

2. Dopo una panoramica sulle due differenti tipologie di compressione, con e senza perdita di informazioni, gli studenti sono stati coinvolti in una simulazione di compressione di segnali e immagini, utilizzando in maniera autonoma semplici script Matlab preventivamente sviluppati dal docente.

3. Successivamente è stato affrontato il problema della ricostruzione di immagini. In tale attività, gli studenti sono stati invitati a migliorare l'aspetto di alcune fotografie mosse e sfocate, nuovamente utilizzando semplici script Matlab, simulando l'attività svolta, ad esempio, dalla polizia scientifica. Poiché il problema è di carattere lineare, esso richiede la risoluzione di un sistema lineare. interessante notare che qui lo strumento matematico di base, ossia la risoluzione di sistemi lineari, rientra tra le competenze classiche degli studenti, in quanto già visto nel loro percorso di studi. Ciò che cambia è esclusivamente la dimensione del sistema in esame, che ora contempla milioni di equazioni ed incognite. Il calcolatore diventa quindi il necessario supporto all'effettiva risoluzione del problema.



Matematica e scelte collettive
Alessio Delpadrone

Prerequisiti: Nessuno.

Materiale:bibliografia

Descrizione:

Attraverso la presentazione del Teorema di impossibilità (*) di Kenneth Arrow (**) si è cercato di offrire ai partecipanti uno scorcio sulla matematica e sull'attività dei matematici complementare alla tipica esperienza scolastica, prendendo le mosse da un problema concreto ed attuale. L'argomento non necessita di alcuna preparazione specifica o avanzata, né di strumenti di calcolo sofisticato, e si presta quindi ad essere "discusso" più che "esposto", mettendo così maggiormente in risalto i ruoli fondamentali della "modellizzazione" e della "dimostrazione" delle varie asserzioni, assieme alla scelta di un linguaggio specifico preciso ed efficace.

Il tema della modellizzazione matematica delle scelte collettive porta tipicamente a situazioni "paradossali", che sono tuttavia concretamenti presenti ed attive nella dinamica sociale. Detto altrimenti, non abbiano affatto soluzioni a meno di non modificare le nostre richieste... Analizzando il problema si constata inoltre l'efficienza del metodo logico-deduttivo rispetto alla pura "forza bruta" dell'analisi caso per caso.

Il Teorema di Arrow ed i concetti e risulati ad esso collegati (***) rientrano nelle applicazione della matematica all'economomia, e fanno parte degli studi di economia politica moderna. Più in generale, la teoria matematica che affronta queste tematiche è la "Teoria dei Giochi".

Lo schema dell'attività è il seguente, ciascun punto è stato "proposto" ai partecipanti come "problema aperto" per stimolare piccole discussioni, che sono poi state raffrontate con le proposte di modellizzazione matematica.

1) Presentazione del problema.

Come si può stabilire graduatorie di preferenza collettive a partire da graduatorie di preferenza individuali secondo criteri "democratici"? [Esempi "classici": Paradosso di Condorcet, elezioni statunitensi del 1976 (Ford, Carter, Regan), manipolabilità del metodo delle "elezioni con agenda".]

2) Formalizzazione.

2.1) Che cos' è una graduatoria?

I concetti matematici di "preordine" (relazione binaria riflessiva e transitiva), "preordine stretto" ed "ordine" totali su un insiemi C di candidati/opzioni. [La transitività come condizione di coerenza per una graduatoria. Raffronto col paradosso di Condorcet: la regola della "maggioranza semplice" (opportunamente formulata) non definisce un preordine se ci sono almeno almeno tre opzioni e due agenti.] L'insieme G(C) dei preordini (gradutorie) su C. [Quante sono le possibili graduatorie su 2,3,...candidati?]

2.2) Come modelliziamo le scelte di una collettività E di elettori/agenti, ciascuno con una sua graduatoria di preferenza individuale fra certe opzioni?

2.2.a) Concetto di "profilo di preferenze" di n agenti (E) con m opzioni/candidati (C) come "lista ordinata" di n graduatorie individuali (una per ciascun elettore/agente). L'insieme PP(E,C) dei profili di preferenza della collettività E sulle opzioni C: PP(E,C)=G(C)^n (prodotto cartesiano). [Danti n (agenti) ad m (opzioni), quanti sono i profili di preferenza?]

2.2.b) Leggi di benessere sociale come "applicazioni"

L : PP(E,C) --> G(C)

dall'insieme dei profili di preferenza PP(E,C) all'insieme G(C) delle graduatorie sulle opzioni C.

[Quante sono le possibili leggi di benessere sociali per tre agenti con due opzioni?]

[Rilettura del paradosso di Condorcet: la regola della "maggioranza semplice" (opportunamente formulata) non definisce una legge di benessere sociale se ci sono almeno almeno tre opzioni e due agenti. Cenno al Teorema di May: scelta fra due opzioni.]

2.3) Quali leggi sono "democratiche"?

Quali proprietà "formali" dovrebbero avere le leggi di benessere sociali L : PP(E,C) --> G(C) per poter essere considerate "democratiche"?

2.3.a) Leggi Pareto-efficienti (regola dell'unanimità).

Una legge L si dice Pareto-efficiente se ogniqualvolta, in un dato profilo di preferenze P, l'alternativa A è preferita all'alternativa B da ogni agente della collettività E, allora A è preferito a B nella graduatoria L(P) su C (graduatoria collettiva associata al profilo P mediante la legge L).

2.3.b) Indipendenza dalle alternative irrilevanti.

Una legge L si dice indipendente dalle alternative irrilevanti se, dato un qualunque profilo di preferenze P e due alternative A e B, la posizione relativa di A e B nella graduatoria L(P) dipende solo dalle posizioni relative di A e B nelle graduatorie di preferenza individuali del profilo P.

[Esempi di leggi che soddisfano/non soddisfano le due condizioni. Le leggi "costanti" sono indipendenti dalle alternative irrilevantima non Pareto-efficienti. Le "elezioni con agenda sulle opzioni" sono Pareto-efficienti, ma non indipendenti dalle alternative irrilevanti. Altri esempi. Le leggi L per cui L(P) è una graduatoria di P (per ogni profilo P) sono Pareto-efficienti, quali fra esse sono anche indipendenti dalle alternative irrilevanti?]

2.3.c) Che cos'è una dittatura?

Le leggi dittatoriali sono le "proiezioni cartesiane"
L_i : PP(E,C) --> G(C), L_i(P)= graduatoria individuale dell'agente i nel profilo P.

Le dittature sono leggi Pareto-efficienti ed indipendenti dalle alternative irrilevanti!

2.3.d) Leggi democratiche.

L è democratica se è Pareto-efficiente, indipendente dalle alternative irrilevanti e non è una dittatura.

3) Quante sono le leggi democratiche per almeno due elettori con almeno tre opzioni?

Un approccio possibile, fissati il numero n di agenti ed m di opzioni, è l'analisi caso per caso di ogni possibile legge. Ma semplici stime del numero delle possibili leggi mostrano l'impraticabilità di questa tecnica già per due elettori con tre opzioni. Tanto più che Kenneth Arrow provò nel 1951 il suo celebre

TEOREMA: ogni legge di benessere sociale Pareto-efficiente ed indipendente dalle alternative irrilevanti è dittatoriale.

L'attività si conclude analizzando alcuni passi della dimostrazione del Teorema di Arrow.

(*) Teorema: ogni legge di benessere sociale efficiente secondo Pareto ed indipendente dalle alternative irrilevanti è dittatoriale. Ovvero: non esistono leggi di benessere sociali "democratiche".

(**) Kenneth Arrow: matematico ed economista, Premio nobel per l'economia con John Hicks nel 1972.

(***) Teoremi di Kenneth May (1952) , Duncan Black (1958), Amartya Sen (1970) Gibbard-Sattherthwaite (1973)...



Sentire la matematica
Francesca Astengo

Prerequisiti: Grafici delle funzioni seno e coseno

Materiale:dispense

Descrizione:

Lo scopo è descrivere alcuni argomenti classici e di ricerca nel campo dell'analisi armonica.

L'attività si articola nelle seguenti fasi:

1. sovrapposizione e manipolazione di onde sonore (gli studenti disegnano i grafici di sin(2x), 2sin(x), sin(x)+sin(2x),...)

2. breve introduzione alle serie di Fourier

3. prove di decomposizione di segnali sonori di alcuni strumenti musicali (diapason, flauto, chitarra, violino)

4. cenni ad algoritmi di compressione, in particolare mp3 e problemi connessi, come il campionamento



Il principio di induzione
Francesca Astengo

Prerequisiti: nessuno

Materiale:dispense

Descrizione:

Lo scopo è avvicinarsi al ragionamento matematico, affrontando diseguaglianze e relazioni in N.

Si introduce il principio di induzione e si propongono alcuni problemi che vengono risolti dagli studenti.



Risultati inefficenti in situazioni di interazione strategica
Silvia Villa

Prerequisiti: geometria analitica nel piano (grafici di rette e parabole)

Materiale:dispense

Descrizione:

Lo scopo è mostrare come semplici modelli matematici, scelti tra i classici della teoria dei giochi (dilemma del prigioniero, modello di duopolio di Cournot) forniscano una buona descrizione di situazioni in cui più individui razionali e intelligenti interagiscono, prevedendo tuttavia risultati "non efficienti".

Tutte le attività sono state proposte agli studenti che hanno poi lavorato in modo autonomo, rispondendo a domande e seguendo suggerimenti.

L'attività è stata organizzata nelle seguenti fasi:

1. Presentazione del dilemma del prigioniero nella versione classica, con discussione e formalizzazione del problema.

2. Analisi della "soluzione", con particolare attenzione all'ipotesi di razionalità fatta sui giocatori.

3. Introduzione dell'equilibrio di Nash e discussione.

4. Presentazione del modello di duopolio di Cournot.

5. Analisi della dinamica di miglior risposta come algoritmo per calcolare la soluzione. Discussione.

6. Dilemma del prigioniero ripetuto e allenamento dell'ipotesi di razionalità come modo per ritrovare l'efficienza.

Abbiamo poi rifatto in piccolo il torneo proposto da Axelrod negli anni '80. A tale scopo gli studenti sono stati divisi in squadre. A ciascuna squadra è stato chiesto di elaborare una strategia (con discussione sulla definizione di strategia) e di giocare venti volte il dilemma del prigioniero con le altre squadre. Analisi della strategia vincente e confronto con quella risultata vincitrice dei tornei di Axelrod, il "Tit for Tat".



Risultati inefficenti in situazioni di interazione strategica
Silvia Villa

Prerequisiti: geometria analitica nel piano (grafici di rette e parabole)

Materiale:dispense

Descrizione:

Lo scopo è mostrare come semplici modelli matematici, scelti tra i classici della teoria dei giochi (dilemma del prigioniero, modello di duopolio di Cournot) forniscano una buona descrizione di situazioni in cui più individui razionali e intelligenti interagiscono, prevedendo tuttavia risultati "non efficienti".

Tutte le attività sono state proposte agli studenti che hanno poi lavorato in modo autonomo, rispondendo a domande e seguendo suggerimenti.

L'attività è stata organizzata nelle seguenti fasi:

1. Presentazione del dilemma del prigioniero nella versione classica, con discussione e formalizzazione del problema.

2. Analisi della "soluzione", con particolare attenzione all'ipotesi di razionalità fatta sui giocatori.

3. Introduzione dell'equilibrio di Nash e discussione.

4. Presentazione del modello di duopolio di Cournot.

5. Analisi della dinamica di miglior risposta come algoritmo per calcolare la soluzione. Discussione.

6. Dilemma del prigioniero ripetuto e allenamento dell'ipotesi di razionalità come modo per ritrovare l'efficienza.

Abbiamo poi rifatto in piccolo il torneo proposto da Axelrod negli anni '80. A tale scopo gli studenti sono stati divisi in squadre. A ciascuna squadra è stato chiesto di elaborare una strategia (con discussione sulla definizione di strategia) e di giocare venti volte il dilemma del prigioniero con le altre squadre. Analisi della strategia vincente e confronto con quella risultata vincitrice dei tornei di Axelrod, il "Tit for Tat".



Il pensiero matematico: esempi elementari
Paltin Ionescu

Prerequisiti: nessuno

Descrizione:

Lo scopo è mostrare agli studenti semplici problemi di Matematica, che evidenzino la bellezza ma anche l'utilità della matematica

I seguenti problemi vengono presentati agli studenti e risolti discutendone con loro:

1. Un problema di geometria piana, basato sul concetto di simmetria, con una apparenza "applicativa".

2. Un "gioco" con punti e curve piane (continue), che "non si può vincere" (a causa del Teorema di Jordan). Propaganda per la topologia!

3. Un altro enunciato di "impossibilità" (costruire un triangolo equilatero con vertici su una rete di quadrati). Collegamento fra trigonometria, geometria metrica, algebra e aritmetica. Propaganda per la matematica greca, vaccinazione contro il pregiudizio della "matematica divisa" (algebra, geometria, trigonometria, aritmetica, etc.). E importante vaccinarsi da piccolo!

4. Un problema "pratico" dove si vede l'utilità del pensiero topologico-combinatoriale.



Le basi della teoria della relatività speciale
Danilo Bruno

Prerequisiti: Trigonometria, equazione della circonferenza nel piano, soluzione di sistemi di equazioni di secondo grado, principali concetti di cinematica (moto rettilineo uniforme, velocità ... )

Materiale:dispense per gli studenti

Descrizione:

Lo scopo dell'attività è di mostrare come la matematica possa essere utilizzata per descrivere fenomeni naturali.

L'attività è stata svolta in 9 fasi:
Fase 1. Introduzione alla costruzione di un modello matematico della realtà, con particolare attenzione al ruolo che la scelta degli assiomi gioca nello sviluppo di una teoria.

Fase 2. La scelta degli assiomi. Riflessione sul significato dei concetti di tempo e spazio e costruzione di un metodo per tradurre tali concetti in linguaggio matematico. Partendo da queste riflessioni e dall' esperienza quotidiana, è possibile ricostruire le basi della cinematica relativa, formulando gli assiomi di tempo e spazio assoluti. In questa fase gli studenti sono spinti a riflettere sui concetti attraverso domande e a discutere sulle risposte che forniscono, fino a giungere alla formulazione degli assiomi.

Fase 3. Formalizzazione della meccanica classica. È stata spiegata brevemente una semplice formalizzazione della cinematica relativa, che utilizzi solo matematica nota nelle scuole secondarie, fino al teorema di addizione delle velocità.

Fase 4. Contraddizione con l'elettromagnetismo. Riflessione sulla propazione delle onde elettromagnetiche e descrizione del moto di un fronte d'onda utilizzando l' equazione della circonferenza nel piano. Contraddizione fra elettromagnetismo e teorema di addizione delle velocità. In questa fase gli studenti sono nuovamente spinti a riflettere sul concetto di propagazione di un fronte d' onda ed invitati ad utilizzare i concetti matematici che hanno appreso per formalizzare il fenomeno.

Fase 5. Cambiare gli assiomi. Discussione critica sugli assiomi formulati in precedenza. Gli studenti sono portati attraverso semplici esperimenti concettuali a mettere in dubbio il concetto di tempo assoluto.

Fase 6. La relatività speciale. Formulazione dei nuovi assiomi e trasformazioni di Lorentz. Gli studenti vengono invitati a creare una formalizzazione simile a quella del punto 3 utilizzando i nuovi assiomi.

Fase 7. Conseguenze cinematiche delle trasformazioni di Lorentz. Contrazione delle lunghezze, dilatazione dei tempi e legge di composizione delle velocità.

Gli studenti vengono posti davanti al problema di valutare come cambiano le lunghezze e gli intervalli temporali al variare dell' osservatore e sono invitati a determinarlo utilizzando quello che hanno imparato al mattino. Infine gli viene mostrata la legge di composizione delle velocità.

Fase 8. Paradossi. Paradosso dei gemelli e dell' automobile nel garage. Vengono illustrati alcuni apparenti paradossi, generati dalle leggi di dilatazione dei tempi e di contrazione delle lunghezze, e gli studenti vengono invitati a trovare l' errore nel ragionamento che li ha causati.

Fase 9. Formulazione di Minkowski. Viene mostrato come l'introduzione dello spazio tempo permetta di visualizzare meglio i concetti relativistici.



Problemi di ottimizzazione: dalla jeep nel deserto allo zaino di Indiana Jones
Gianfranco Bo

Prerequisiti: aritmetica e geometria elementari, conoscenze di base sugli algoritmi.

Materiale:dispense per gli studenti

Descrizione:

Lo scopo è affrontare alcuni problemi di ottimizzazione e alcune loro varianti con incursioni nel mondo della matematica ricreativa e dello sviluppo di programmi per computer.

Dopo alcune semplici attività di geometria combinatoria per introdurre il concetto di "ottimizzazione" sono stati proposti agli studenti tre problemi da risolvere attraverso un lavoro di gruppo.

La via verso la strategia "migliore" è stata cercata in un clima di lavoro cooperativo, condividendo, discutendo e perfezionando i risultati parziali via via proposti dai singoli studenti.

I problemi proposti, in una formulazione generica, sono i seguenti:

1. Il problema isoperimetrico (e il dilemma di Didone)
Fra tutte le curve piane chiuse di lunghezza L>0, trovare quella che racchiude area maggiore. La dimostrazione di Steiner, la critica di Dirichlet, esperimenti con le bolle di sapone.

2. Il problema della jeep
Si deve attraversare un deserto lungo x chilometri con una jeep che può trasportare al massimo carburante sufficiente a percorrere m chilometri (con x molto maggiore di m). Trovare un metodo per effettuare la traversata nel modo più economico possibile e consumando la quantità minima di benzina.

3. Il problema dello zaino 0-1
Si deve riempire uno zaino scegliendo fra n oggetti di valori e pesi diversi assegnati e senza superare un dato peso. Risolvere il problema in alcuni casi particolari cercando di trovare una strategia generale. Come si può sviluppare un algoritmo che risolva il problema dello zaino in tempi accettabili?



Introduzione alla teoria dei grafi e applicazioni
Aldo Conca

Prerequisiti: nessuno.

Descrizione:

Il lavoro è stato svolto in 6 fasi:

1. Introduzione di alcuni problemi concreti apparentemente scorrelati fra di loro: posizionare i guardiani di un museo (o le telecamere di controllo all'aereoporto), realizzare circuiti stampati senza ponti, il problema del commesso viaggiatore, stivare merci un magazzino tenendo conto delle mutue incompatibilità, posizionare le ambulanze del 118 in maniera da garantire un tempo di intervento prestabilito.

2. Introduzione dei concetti astratti che permettono di analizzare i problemi precedenti: il concetto di grafo, grafo semplice o con lati multipli, con o senza lacci, orientato o meno. Cammini, cicli, cammini e cicli Euleriani, cammini e cicli Hamiltoniani. Insiemi di vertici indipendenti, insieme di vertici di copertura. Grafi completi e grafi completi bipartiti.

3. Introduzione di problemi concreti descritti in termini della terminologia del punto 2 e che sono prototipi dei problemi del punto 1: n regine su una scacchiera nxn, il tour del cavallo, la passeggiata a Koenigsberg, il problema di Turan.

4. Gli studenti lavorano sui problemi del punto 3) per circa due ore.

5. Analisi delle soluzione proposte dagli studenti.

6. Per finire due dimostrazioni: il cammino di Hamilton del cavallo in una scacchiera 4x4 è impossibile e la dimostrazione del teorema di Turan per i triangoli.



La matematica dell'incerto: il metodo di Monte Carlo
Emanuela Sasso

Prerequisiti: concetto di probabilità e di "numero casuale". Siccome mancavano sono stati ricavati insieme agli studenti. Materiale:dispense per gli studenti



Descrizione:

Lo scopo di questo stage è quello di accrescere negli allievi il grado di fiducia sull'efficacia dei metodi probabilistici-statistici, introducendo una matematica sperimentale, che utilizza le simulazioni al computer

1. Agli studenti è stata consegnata una scheda (in allegato) con alcuni problemi "classici" di probabilità da risolvere e dopo una breve introduzione sono stati lasciati a lavorare da soli.

2. Analisi delle soluzioni proposte dagli studenti: discussione critica del concetto di probabilità e simulazione.

3. Soluzione dei problemi tramite la simulazione al computer: verificando che in alcuni casi la simulazione permette una soluzione più veloce in termini di tempo e di facile implementazione (problema del CRAPS e calcolo di aree), in altri la simulazione dà una soluzione, seppur approssimata, che non si è ancora ottenuta con metodi deterministici (problema del 1-2-3).



Misurare la stranezza: probabilità e dintorni
Ernesto De Vito

Prerequisiti: nessuno. Materiale:dispense per gli studenti



Descrizione:

Lo scopo di questo stage è quello di introdurre l'idea di probabilità come misura quantitativa per stabilire se un fenomeno sia strano o meno.

1. Agli studenti è stata chiesto se è strano il fatto che, tra le 23 persone presenti in campo durante una partita di pallone, due di essi compiano gli anni lo stesso giorno.

2. Analizzando il caso del lancio di una moneta, simulato al computer, abbiamo introdotto:
- il concetto di probabilità come "limite" delle frequenze relative dei possibili risultati
- la distribuzione binomiale (fattoriale, coefficiente binomiale)

3. Partendo da dati reali, abbiamo giustificato il modello probabilistico di distribuzione uniforme e risolto in modo esatto il problema dei compleanni in funzione del numero di persone.

4. Abbiamo introdotto la funzione esponenziale come "polinomio di grado infinito" e determinato una soluzione approssimata del problema dei compleanni più significativa di quella esatta.

5. Sono stati brevemente discussi altri problemi di probabilità in cui il risultato è inaspettato.

Qual è l'ottava cifra di π?
Fabio Di Benedetto

Prerequisiti: variano in base alla traccia scelta.

Materiale: Il lavoro si ispira al paragrafo 1.4 del libro R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Introduzione alla matematica computazionale. Zanichelli, Bologna, 1987.

Presentazione dell'attività

tracce di svolgimento: metodo1 metodo2 metodo3 metodo4

Ulteriore proposta di lavoro per gli studenti più rapidi, relativa al calcolo numerico della radice quadrata col metodo delle tangenti (richiede conoscenze di geometria analitica). con la formulazione dettagliata dei problemi proposti

Descrizione:

Il lavoro è svolto in 6 fasi.

1) Dopo aver brevemente illustrato agli studenti gli scopi dell'attività, viene distribuita a tutti una presentazione del problema, in cui vengono proposti 4 metodi diversi che hanno l'obiettivo di calcolare la costante π con sufficiente precisione.
2) Gli studenti vengono informati sui prerequisiti necessari per affrontare i diversi metodi: i primi due richiedono essenzialmente nozioni di trigonometria, il terzo utilizza la formula di quadratura dei trapezi e richiede solo conoscenze di geometria elementare, il quarto è basato su un approccio probabilistico e dà luogo a un metodo di tipo "Montecarlo", richiedendo solo buone conoscenze informatiche.
3) Gli studenti sono lasciati liberi di scegliere individualmente il metodo da sviluppare (in accordo con i prerequisiti richiesti e la propria preparazione scolastica); una volta effettuata la scelta, vengono quindi accorpati in piccoli gruppi di lavoro (uno per ogni metodo).
4) A ogni gruppo viene fornita un'ulteriore traccia per arrivare alla stesura del metodo che porterà al risultato finale. Vista la complessità dei problemi proposti, gli studenti vengono guidati attraverso un'assidua assistenza da parte del docente.
5) Appena un gruppo ha completato la stesura del metodo scelto, viene guidato ad una semplice implementazione al calcolatore in ambiente MatLab.
6) Vengono analizzati e spiegati i risultati ottenuti al calcolatore, mettendo in evidenza vantaggi e svantaggi del metodo scelto dal gruppo; per quanto possibile, i diversi gruppi vengono fatti interagire a posteriori tra di loro per confrontare le prestazioni dei rispettivi metodi.



Introduzione alla probabilità e alla statistica
Ivano Repetto - Eva Riccomagno

Prerequisiti: Non sono richiesti prerequisiti

Descrizione:

Lo scopo del laboratorio è quello di introdurre i concetti elementari di statistica e probabilità utilizzando vari insiemi di dati e software appropriato.

Il lavoro è stato svolto in 5 fasi, ogni fase prevede una analisi dei dati autonoma da parte dello studente seguita da una discussione collettiva. Le attività si sono svolte in un laboratorio informatico.

1. Introduzione ai concetti di popolazione e campione statistico, di indice statistico e alle rappresentazioni grafiche in statistica. Sono stati utilizzati i dati biometrici dati di una "classe" di studenti universitari.

2. Esempio di raccolta dati sviluppando l'insieme precedente.

3. I giochi d'azzardo e il calcolo delle probabilità : concetti di frequenze e probabilità elementare.

4. Serie storiche su dati epidemiologici : rappresentazione grafica e indici statistici notevoli su dati relativi a casi di morbillo.

5. La statistica nei media: utilizzo dei dati riportati su quotidiani e riviste.