LINGUAGGIO E ARGOMENTAZIONE NELLA SCUOLA MEDIA

ESPERIENZA 1

dagli studenti

Analisi dettagliata di un'esperienza (a.s. 2008-09): Il percorso “Pensa a un numero…”

Il percorso è stato realizzato in cinque classi seconde ed in una classe prima. Gli insegnanti coinvolti nella progettazione e sperimentazione sono Monica Testera, Elena Quaglia e Giulio Alluto (Carcare), Adriana Frumento ed Elena Calcagno (Cairo).

Per la realizzazione del percorso ci riferiamo in particolare a quanto svolto nella classe IIB (insegnante Monica Testera). Come anticipato, ogni insegnante ha modificato in relazione alle esigenze della propria classe il percorso progettato a priori.

Nel seguito si riportano schematicamente le principali tappe del percorso.

Prima parte: il gioco

- Esercizio proposto: L’insegnante ti propone il seguente gioco: “Pensa a un numero, moltiplicalo per due, aggiungi cinque, togli il numero che hai pensato, aggiungi otto, togli due, togli il numero che hai pensato, togli uno”. Secondo te, è possibile che l’insegnante, pur non conoscendo il numero che tu hai pensato, indovini il tuo risultato? Se sí, in quale modo? (lavoro individuale)

- Condivisione delle risposte individuali in piccoli gruppi, discussione collettiva di bilancio

- Esercizio proposto: Pensi che sia un mago l’insegnante che ha indovinato il risultato che avete ottenuto? Scrivi sotto forma di espressione la sequenza dei calcoli del gioco, utilizzando un colore diverso per il numero pensato. Prova a scrivere una espressione che vada bene per qualsiasi numero abbiate pensato.

- Condivisione delle risposte individuali in piccolo gruppo, discussione collettiva di bilancio

- Approfondimento sui diversi modi di rappresentare il gioco: confronto tra le diverse rappresentazioni proposte dagli studenti

- Discussione a partire dalla domanda: Secondo te, quale di queste un matematico sceglierebbe ? Perché?

Seconda parte: creazione di nuovi giochi

- Esercizio: Creare un nuovo gioco in cui si possa indovinare il risultato, ma che non inizi nello stesso modo dell’esercizio 1. Creare un nuovo gioco in cui si possa indovinare il numero pensato, conoscendo il risultato (lavori di gruppo)

- Discussione di bilancio

Terza parte: i numeri primi

- Ripasso: che cosa sono i numeri primi - Esercizio: è vero che se un numero intero termina per 7 e non è divisibile per 3 allora è un numero primo? (risoluzione collettiva)

- Esercizio: Sarà vero oppure no che se si pensa ad un numero, lo si eleva alla seconda, si toglie il numero pensato e si aggiunge 41 si ottiene sempre un numero primo? (lavoro di gruppo)

- Discussione di bilancio

- Compiti assegnati: Provare a valutare la verità delle seguenti affermazioni: “I numeri primi, escluso il 2, sono numeri dispari”; “Ogni numero pari maggiore di due può essere scritto come somma di due numeri primi”

- Correzione dei compiti assegnati, discussione di bilancio.

- Esercizio: Che cosa succede se si addizionano un numero pari ed un numero dispari? si troveranno delle regolarità? Se sí, perché? E se si addizionano due numeri dispari, cosa succede? Sarà sempre vero? (risoluzione individuale)

- Discussione di bilancio.

Il percorso si può dividere in tre parti, di cui due progettate a priori ed una, la seconda, inserita in itinere per sfruttare alcuni spunti emersi spontaneamente dagli studenti.

Nella prima parte, agli studenti è proposto un gioco numerico: essi devono pensare un numero ed eseguire una sequenza di operazioni a partire da tale numero, fino a ottenere un risultato. La prima domanda concerne la possibilità, da parte dell’insegnante, di indovinare il risultato della sequenza di operazioni, senza conoscere il numero pensato. Attraverso un’esplorazione su esempi numerici, gli studenti osservano che il risultato non cambia (è sempre 10, qualsiasi sia il numero pensato), per cui l’insegnante può effettivamente indovinare a priori il risultato. Momento cruciale è quello in cui gli studenti passano dalla constatazione del fatto che il risultato non cambia, alla ricerca delle motivazioni per cui il risultato non cambia. Questa ricerca di motivazioni è favorita dalla rappresentazione del problema in forma di espressione, rappresentazione che consente di “vedere” che i contributi relativi al numero pensato si annullano e quindi non influiscono sul risultato finale.

In questa parte del percorso, gli studenti fanno ipotesi, motivano le risposte, confrontano le proprie strategie risolutive, si abituano a passare dalla constatazione di una regolarità alla ricerca delle ragioni che stanno dietro tale regolarità. Inoltre, scrivendo il gioco in forma di espressione, gli studenti iniziano ad utilizzare l’algebra come strumento dimostrativo. Si noti che per gli studenti si tratta di una delle prime esperienze di scrittura di espressioni in cui compaiono anche delle lettere. La prima parte termina con una riflessione sui diversi modi di rappresentare il gioco (rappresentazione di tipo relazionale, in forma di espressione; rappresentazione di tipo procedurale, in forma di sequenza di operazioni). Gli studenti sono chiamati a discutere sulla correttezza delle due rappresentazioni, ma anche e soprattutto sull’utilità delle due espressioni in relazione al problema proposto. Si veda, a tale proposito, un estratto dalla discussione matematica di bilancio nella parte “Dagli studenti”).

La seconda parte è stata inserita in itinere, traendo spunto dalla confusione, presente negli elaborati di alcuni studenti, tra il gioco proposto (del tipo “pensa un numero … è possibile indovinare il risultato”) e altri giochi numerici (del tipo “pensa un numero … è possibile, dato il risultato, ricostruire il numero pensato”). Gli studenti sono stati invitati a creare, in piccolo gruppo, un gioco di ciascuno dei due tipi. Questa attività è stata inserita per approfondire la riflessione sulla rappresentazione procedurale e relazionale del problema e sulla scelta della rappresentazione in relazione al problema posto.

La terza parte ha riguardato l’esplorazione, scoperta e dimostrazione di alcune proprietà in teoria elementare dei numeri. Gli studenti, dopo aver ripassato la definizione di numeri primi, hanno lavorato su alcune proprietà dei numeri primi. Tra queste, alcune proprietà si sono rivelate false, altre vere. Sono stati introdotti anche termini specifici, quale contro-esempio e dimostrazione, e si è riflettuto sulla differenza tra verifica sperimentale e spiegazione generale. Gli studenti hanno anche incontrato e discusso la congettura di Goldbach.

La terza parte si avvale di quanto fatto nelle due parti precedenti, in cui si è lavorato sulla distinzione tra verifica empirica e ricerca di una spiegazione generale, e sull’uso dell’algebra come strumento dimostrativo.