Perspicio, ergo expono
 
Lavoro di matematica svolto nell'ambito del progetto "Lauree scientifiche"
 
   
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Le funzioni esponenziali
 

 

Prefissato un numero reale a > 0, è possibile associare ad un qualsiasi numero reale x, il numero reale ax. In tal modo è possibile considerare x come una variabile reale e definire una funzione f avente come dominio R tale che

                                            f : x ------->   ax

Resta cosi definita una funzione reale di variabile reale, di equazione y = ax, che si chiama funzione esponenziale di base a, il cui dominio è R.

Il caso banale in cui è a = 1  non è preso in considerazione poiché, essendo 1x = 1 per qualunque x appartenente ai numeri reali, la funzione non è altro che quella costante di equazione y =1.

Cerchiamo ora di rappresentare graficamente  una funzione esponenziale con base a > 1. A tal fine scegliamo a = 2 e otteniamo un certo numero di coppie (x;y) appartenenti al grafico di y = 2x. La tabella seguente indica alcuni dati utili per poter rappresentare graficamente la funzione.

                       

 

Ora andiamo a rappresentare il grafico della funzione esponenziale y = 2x.                         

 

Osserviamo che la funzione è crescente. Intuitivamente, una funzione è crescente quando "spostandoci verso destra sull'asse delle ascisse, ci si sposta verso l’alto sull'asse delle ordinate". Per formalizzare meglio la definizione, diciamo che la funzione y = ax  è crescente in un intervallo (a,b) se per ogni coppia x1, x2 in (a, b), con x1 < x2, si ha ax1 < ax2.

 

Rappresentiamo ora graficamente  una funzione esponenziale con base a tale che 0 < a < 1. A tal fine scegliamo la base a = ½  e otteniamo un certo numero di coppie (x,y) appartenenti al grafico di y = (½)x. La tabella seguente indica alcuni dati utili per poter rappresentare graficamente la funzione.

 Ora andiamo a rappresentare il grafico della funzione esponenziale y = (1/2)x .

 

Intuitivamente una funzione è decrescente quando "spostandoci verso destra sull'asse delle ascisse, ci si sposta verso il basso sull'asse delle ordinate". Per formalizzare meglio la definizione, diciamo che la funzione y = (1/2)x è decrescente nell’intervallo (a, b) se per ogni coppia x1, x2 in (a, b), con x1 < x2, si ha (1/2)x1 > (1/2)x2.

 

Tutte le funzioni esponenziali:

  • si trovano solo nel primo e secondo quadrante, ossia la y assume valori solo positivi;

  • intersecano l'asse delle ordinate nel punto (0, 1);

  • non intersecano l’asse delle ascisse, ma hanno un asintoto orizzontale di equazione y = 0.

Inoltre, possiamo anche dire che, per ogni base a,  i  grafici delle funzioni esponenziali di equazioni y = ax e y = (1/a)x sono l'uno il simmetrico dell'altro rispetto all’asse delle ordinate.

Infine, per quanto riguarda le funzioni esponenziali con a >1, possiamo osservare, per esempio, che:

  • se x>0, allora 2x < 3x;

  • se x<0, allora 2x > 3x.

Invece, per quanto riguarda le funzioni esponenziali con 0 < a < 1, possiamo osservare, per esempio, che:

  • se x>0, allora (1/2)x > (1/3)x;

  • se x<0, allora (1/2)x < (1/3)x.

 

  

Le funzioni logaritmiche
   

Le funzioni esponenziali risultano biunivoche, se a è diverso da 1, e quindi sono dotate di inversa. Ciò equivale a dire che, fissato un numero reale y>0, esiste un unico x che risolve l’equazione  ax = y. Il dominio della funzione inversa sarà, pertanto, l'insieme dei numeri reali positivi, mentre il codominio sarà R.

La funzione inversa della funzione  esponenziale è detta funzione logaritmo in base a, dove a>0, ma  diverso da 1. Essa, formalmente , si scrive in questo modo:

x = loga y.

Non è difficile capire, dunque, che il logaritmo di un numero è l'esponente da dare alla base a per ottenere y.

Cerchiamo ora di rappresentare graficamente  una funzione logaritmica con base a > 1. A tal fine scegliamo a = 2 e otteniamo un certo numero di coppie (x;y) appartenenti al grafico di y = log2 x. La tabella seguente indica alcuni dati utili per poter rappresentare graficamente la funzione.  

Ora andiamo a rappresentare il grafico della funzione esponenziale y = log2 x.  

 

Osserviamo che:

  • la funzione e' sempre crescente;
  • e' definita solo per valori positivi della x;
  • ha un asintoto verticale nell'asse y, di equazione x = 0 ;
  • il punto (1,0) e' sempre di intersezione fra la curva e l'asse delle x;

Cerchiamo ora di rappresentare graficamente  una funzione logaritmica con base 0 <a < 1. A tal fine scegliamo a = 1/2 e otteniamo un certo numero di coppie (x;y) appartenenti al grafico di y = log1/2 x. La tabella seguente indica alcuni dati utili per poter rappresentare graficamente la funzione.  

Ora andiamo a rappresentare il grafico della funzione esponenziale y = log1/2 x.  

Possiamo osservare che:

  • la funzione e' sempre decrescente;
  • e' definita solo per valori positivi della x;
  • ha un asintoto verticale nell'asse y di equazione x = 0;
  • il punto (1,0) e' sempre di intersezione fra la curva e l'asse delle x; 

Possiamo anche osservare che i grafici delle funzioni logaritmiche di equazioni 
 y = loga x e y = log1/a x 
sono  l'uno il simmetrico dell'altro rispetto all’asse delle ascisse.

Per quanto riguarda le funzioni logaritmiche con a >1, possiamo osservare, per esempio, che:

  • se 0<x<1, allora log2 x < log3 x ;

  • se x>1, allora log2 x > log3 x .

Invece, per quanto riguarda le funzioni logaritmiche con 0 < a < 1, possiamo osservare, per esempio, che:

  • se 0<x<1, allora log1/2 x > log1/3 x ;

  • se x<1, allora log1/2 x < log1/3 x .

Infine, confrontiamo i grafici  delle  funzioni y = ax  e y = loga x nel caso a>1:

e in quello per cui 0<a<1: