Perspicio, ergo expono

 
Lavoro di matematica svolto nell'ambito del progetto "Lauree scientifiche"
 
   
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Il numero e
   

Il numero e  non è molto noto al di fuori dell’ambiente matematico. Eppure è un numero che gioca un ruolo fondamentale non solo in matematica, ma in tante applicazioni, come abbiamo occasione di vedere in questo sito.

Il numero e è irrazionale ossia fa parte di quei numeri le cui cifre decimali si seguono quasi casualmente, senza nessuna regola, se non quella che definisce il numero stesso. Al contrario, i numeri razionali, dopo un certo numero di cifre decimali, hanno tutti zeri o sequenze di cifre che si ripetono periodicamente: essi possono essere messi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore interi, da cui il nome dal latino “ratio” nel significato di rapporto.

Ma “ratio” significa anche ragione, come dire che razionali sono quei numeri sui quali si può ragionare, mentre gli irrazionali sono numeri non ragionevoli, stravaganti, quasi folli.

A dire il vero, il numero e per un istante  dà la speranza della razionalità in quanto, dopo la prima cifra decimale, si ripete la sequenza 1828. Tuttavia, la speranza è presto frustrata poiché, dopo la prima ripetizione, le cifre riprendono a seguirsi in modo apparentemente casuale : 2,7182818284590...

Il numero e viene detto anche trascendente perché non c’è un’equazione polinomiale a coefficienti  razionali che lo ammetta come soluzione: si sfiora la teologia.

Anche se a Nepero può essere attribuita la scoperta del numero e, esso fu utilizzato da costui solamente per introdurre i logaritmi nel suo libro Mirifici logarithmorum canonis descriptio;  ad Eulero, invece, va il merito di averlo approfondito,  di averlo reso popolare e indicato col nome che ben conosciamo.

Il numero e  può essere introdotto come limite della successione sn=(1+1/n)n: la tabella sottostante indica alcuni termini di tale successione.

Osserviamo che la successione sn è crescente, dato che ogni termine é maggiore del precedente, limitata superiormente poiché ogni termine é minore di tre e, quindi,  convergente ossia esiste un numero al quale la successione tende ad avvicinarsi sempre più; ossia, un numero la cui differenza con un elemento della successione può essere resa minore di qualsiasi quantità, scegliendo opportunamente n.

Analizzando, attraverso l'aiuto del foglio elettronico EXCEL, i valori assunti dai termini della successione, si nota che per valori di n molto grandi (potremmo dire per n tendente a infinito) il valore di sn tende al numero e.

Il numero di Nepero frequentemente è utilizzato come base per i logaritmi: in questo caso, i logaritmi nella base a = e sono scritti nella forma logex = lnx e sono chiamati logaritmi naturali o neperiani. Questa base permette di avere notevoli semplificazioni in numerose formule fondamentali.

Generalmente, però, un numero reale viene espresso nella rappresentazione in base 10 e solo in contesti particolari (per esempio, nell’ambito informatico) lo si esprime in una diversa base (2 o 16). È, quindi, naturale scegliere come base dei logaritmi il numero 10 cioè a=10. In tal caso i logaritmi si dicono decimali. Conviene, inoltre, scegliere una notazione che ci risparmi di riportare continuamente la base 10. Scegliamo, pertanto, di scrivere:

log10x= logx

Poiché la base "e" e la base "10" sono quelle più usate, può essere interessante determinare il coefficiente che collega questi due sistemi di logaritmi, così da poter passare facilmente da un sistema all'altro.

Considerando la nota formula che consente il passaggio da una base ad un'altra:

logax = (logbx)/(logba)

e ponendo: a =e  e  b=10,  si ottiene:

lnx = logx/loge

 Poiché loge~0,43429448 e, pertanto,  1/loge~2,302585094, si ha:

lnx~2,302585094*logx

che rappresenta il legame tra i  logaritmi nelle due basi prese in considerazione. 

Di seguito sono riportati i grafici delle funzioni y=logx e  y=lnx

 

In relazione a quanto detto precedentemente, il grafico di y=lnx  si ottiene da quello di y=logx, moltiplicando quest’ultima funzione per il fattore 2,302585….

Si può osservare, infine, che spesso risulta utile esprimere una funzione esponenziale di base a qualsiasi come una funzione in base e. A tal fine si ottiene che:

Per concludere, presentiamo una poesia che Giorgio Rabbeno, un poeta della matematica,  ha scritto nel 1935  per ricordare le prime cifre del numero e al fine di partecipare ad un corcorso ideato dalla rivista Sapere:

Ai modesti o vanitosi

ai violenti o timorosi

do, cantando gaio ritmo,

logaritmo...