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Si consideri la seguente
successione:
0, 3, 6, 12, 24, 48,
96,...
Come si può notare si tratta
di una progressione geometrica di ragione 2: essa inizia con lo 0 e
ogni numero si ottiene moltiplicando per 2 il precedente.
Aggiungendo 4 a ciascun
termine si ottiene la seguente:
4, 7, 10, 16, 28, 52,
100,...
Dividendo ogni termine per
10 successivamente si ha:
0.4, 0.7, 1.0, 1.6, 2.8,
5.2, 10.0,...
Questi
valori rappresentano, con buona approssimazione, la distanza dal Sole in
unità astronomiche dei pianeti sino a Nettuno compresa la fascia
principale degli asteroidi. Fu proprio questa legge, conosciuta come
legge di Titius-Bode, a suggerire agli astronomi verso la fine del
XVIII secolo che dovesse essere presente qualcosa in corrispondenza del
valore 2.8 compreso tra l'orbita di Marte e quella di Giove, dove fu poi
trovato Cerere.
Nel
seguito, sarà comodo esprimere la distanza come potenza di 10.
Supponiamo
ora di voler rappresentare in scala su un foglio di carta quadrettata le
distanze dei vari pianeti dal Sole. Poichè queste ultime seguono, con
buona approssimazione,
la legge di Titius-Bode,
possiamo sulla carta quadrettata porre uguale a un quadretto la
distanza Sole-Mercurio, che è di circa 0,4 unità astronomiche, per cui
la Terra, che si trova a 1 unità astronomica, verrebbe posta a 2
quadretti e mezzo di distanza, mentre Marte si troverebbe a 4 quadretti.
Nettuno, però, in base a tale scelta,
andrebbe collocato a 75 quadretti, risultando al di fuori di uno spazio
ragionevolmente disponibile.
Per far sì che tutti i pianeti
vengano rappresentati all’interno di un foglio standard è sufficiente che ciascun
pianeta venga sistemato non alla distanza effettiva dettata dalla scala,
ma al logaritmo di tale distanza. In questo modo anche se, fissassimo la
distanza Sole-Mercurio in 10 quadretti anziché in uno solo, quella media
di Plutone, circa 100 volte superiore, si ridurrebbe a una ventina di
quadretti e resterebbe quindi abbondantemente contenuta all'interno del
foglio. Tale rappresentazione permette di creare uno
schema facilmente leggibile,
anche se non rispecchia la realtà; comunque, si può risalire alla
distanza reale attraverso un uso opportuno della funzione esponenziale.
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