Una spirale è una curva che si avvolge attorno a un determinato punto centrale o asse, avvicinandosi o allontanandosi progressivamente, a seconda di come un punto si muove; pertanto, non ha un punto di inizio, ma prosegue infinitamente sia verso l’interno che verso l’esterno, mantenendo la sua forma al variare della scala di osservazione.

In particolare,  la spirale logaritmica, o equiangolare, fu studiata da Renato Cartesio nel 1638 e può essere distinta da un'altra ben nota spirale, quella di Archimede, per il fatto che le distanze fra i bracci di una spirale logaritmica aumentano secondo una progressione geometrica, mentre in quella archimedea le distanze sono uguali. 

Verso la fine del 1600, il matematico Jackob Bernoulli scoprí molte  proprietà della spirale logaritmica e ne rimase talmente affascinato che chiese di averne una scolpita sulla sua pietra tombale, accompagnata dalla scritta latina "Eadem mutata resurgo" (Sebbene cambiata, rinasco identica). Purtroppo la spirale che ancora oggi è visibile sulla lapide del matematico a Basilea è una spirale di Archimede; la scritta invece non compare.

Una spirale logaritmica si può ottenere considerando una semiretta che ruota uniformemente intorno ad un suo estremo e un punto che si muove lungo questa semiretta con una velocità che aumenta man mano che il punto si allontana dall’estremo fissato. La curva tracciata dal punto in movimento è, appunto, una spirale logaritmica.

L'equazione della curva, in coordinate polari (r, θ), può essere scritta come

r = ρ^kθ

in cui  k è una costante reale e  ρ una costante reale e positiva.

Poiché θ può essere ricavato dalla relazione precedente tramite l'applicazione dei logaritmi,  è nato il termine "spirale logaritmica".

I grafici sottostanti danno una rappresentazione della curva, ottenuta, tramite il foglio elettronico EXCEL, ponendo ρ=0,8 e variando k.

Se k>0 la spirale si avvolge intorno al punto centrale in senso antiorario:

Se k=0 la spirale degenera in una circonferenza:

Se k<0  la spirale si avvolge intorno al punto centrale in senso orario:

La spirale logaritmica  può essere realizzata utilizzando i numeri di Fibonacci; pertanto, prima di provare a disegnare la curva in tal modo, cerchiamo di spiegare di che cosa si tratta.

Nel 1223, l’imperatore Federico II di Svevia indisse una gara sui calcoli matematici; il vincitore di tale competizione fu Leonardo "da Pisa", conosciuto anche con il nome di Fibonacci.

Nella seguente tabella sono riportati i primi dieci numeri della  serie  che lo fece vincere:

Ogni numero della sequenza è la somma dei due numeri precedenti.

Esempio:  3+5=8; 13+21=34; 55+89=144; ecc...

La sequenza presenta alcune proprietà:

Se si sommano due o più numeri consecutivi di tale serie, sempre partendo dal primo, e si aggiunge ulteriormente 1, si ottiene sempre un altro numero  che nella sequenza segue di due posti l’ultimo termine della somma.

Esempio:

1+1+2+3+5+1=13

In questo caso si sono sommati i primi cinque numeri di Fibonacci, si è aggiunto 1 e si è ottenuto il settimo numero della sequenza.

Il rapporto tra un  termine e quello successivo si avvicina molto rapidamente a 0,618..., mentre il rapporto tra un termine e quello precedente si avvicina altrettanto rapidamente a 1,618...;

Esempi:

1:2=0,500 8:13=0,615 
2:3=0,667 13:21=0,619
3:5=0,600 21:34=0,618
5:8=0,625 34:55=0,618

Il  numero 0,618..., indicato dalla lettera greca Φ, è detto rapporto aureo: è un numero irrazionale con molte curiose e misteriose proprietà...;

	Il rapporto tra un numero della sequenza e quello che lo precede di due posti è sempre pari (tendente a) 2,618..., che è il quadrato di 1,618...;
	Se si prendono due numeri consecutivi della serie, la somma dei loro quadrati è un altro numero  che nella sequenza occupa il posto risultante dalla somma delle posizioni dei due termini di partenza.

Esempio:

3²+5²=34

In questo caso si sono presi il quarto e quinto numero della serie, se ne è fatto il quadrato e la somma dei quadrati è risultata essere il nono numero della sequenza.

	Il quadrato di qualsiasi numero della serie è uguale al numero che lo precede per il numero che lo segue, più o meno 1. Il più o meno si alterna lungo la sequenza;
	Se dividiamo qualsiasi numero della sequenza per quello che lo precede di due posti, otterremo sempre due come quoziente, e come resto il numero immediatamente precedente il divisore;

Esempio: 89:34 = 2 con il resto di 21.

	Il quadrato di un numero di Fibonacci meno il quadrato del  numero che lo precede di due posti è sempre un numero della successione;
	Il massimo comun divisore di due numeri di Fibonacci è ancora un numero di Fibonacci;
	Consideriamo la sequenza ottenuta moltiplicando per 4 tutti i numeri della serie di Fibonacci, esclusi 1 e 2:

12  20  32  52  84  ...

Ad ogni numero di tale sequenza aggiungiamo, nell'ordine, i numeri della serie di Fibonacci. Otteniamo:

13  21  34  55  89  ...

che è ancora la serie di Fibonacci privata di alcuni termini iniziali.

Il numero 0,618... è importante perchè è il rapporto della sezione aurea.  Vediamo di che cosa si tratta.

Dividiamo un segmento di lunghezza 1 in due parti, una   di lunghezza x e l'altra  di lunghezza  1-x,  tali che

(1-x) : x = x : 1  

Per risolvere la proporzione si ricorda che il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi, per cui si ottiene:

x² = 1- x

cioè

x² + x - 1 = 0

Possiamo ricavare dall'equazione di secondo grado ottenuta le soluzioni: 

Scopriamo così che la soluzione positiva è

x = 0,618...

Consideriamo ora un rettangolo ABCD con i lati in rapporto aureo AD/AB = 1,618... Se al suo interno tracciamo il quadrato di lato CD, il rettangolo restante avrà i lati in rapporto aureo AB/AE = 1,618...

Se ripetiamo questa operazione  infinite volte, otterremo sempre dei rettangoli con i lati in rapporto aureo tra loro.

Dopo le precedenti osservazioni, mostriamo che si può disegnare una spirale logaritmica, utilizzando i numeri di Fibonacci.