Perspicio, ergo expono

 
Lavoro di matematica svolto nell'ambito del progetto "Lauree scientifiche"
 
   
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La scala musicale temperata
   

I suoni esistenti in natura sono complessi, ma scomponibili in una serie di suoni puri detti armonici. Gli armonici sono generati spontaneamente dalle vibrazioni dei corpi elastici, (per esempio, la corda degli strumenti musicali) e hanno frequenze che variano tra 37Hz e 4685Hz.

Le note della scala musicale ( do, re, mi, fa, sol, la, si), dunque, si distinguono l’una dall’altra per la frequenza, ovvero il numero delle vibrazioni al secondo che un corpo elastico (come la corda di una chitarra) può emettere. In particolare, si parla di scala musicale perché, aumentando il numero delle vibrazioni, i suoni diventano più acuti salendo in altezza.

L’ottavo suono di una scala musicale ha un numero di vibrazioni raddoppiato rispetto a quello del primo suono: esso si chiama con lo stesso nome perché è lo stesso suono, ma più acuto.

La distanza tra due suoni musicali, costituita dalla differenza di numero delle loro vibrazioni, si chiama intervallo, ed è misurata sulla tastiera con i toni e i semitoni.

In passato veniva presa come riferimento la scala naturale, dalla quale sono state ricavate 12 note: 7 appartengono alla scala maggiore, 5 suddividono i toni interi (un tono è formato da due semitoni). La scala naturale si suddivide tra la scala maggiore (naturale), cioè quella per cui tutti gli intervalli sono giusti oppure maggiori (quella che conosciamo tutti: do-re-mi-fa-sol-la-si-do), e la scala minore (naturale), cioè quella che ha l'intervallo di seconda maggiore, e tutti gli altri giusti oppure minori. Anche questa è ben nota: la-si-do-re-mi-fa-sol-la, o do-re-mib-fa-sol-lab-sib-do.
Come soluzione alle stonature che presentava la scala naturale, nel 1722  Johann Sebastian Bach, con l’opera “Il clavicembalo ben temperato”, introdusse la scala temperata, nella quale le stonature rientrano nei limiti della tollerabilità; questo nuovo sistema musicale è diventato il modello della musica occidentale ed è utilizzato ancora oggi.   

Per ottenere 12 note equidistanti l’una dall’altra è stato necessario suddividere l’ottava in 12 parti esattamente uguali; il rapporto fra la frequenza di una nota e la successiva è costante ed è detto semitono temperato. Indicando con x il valore del semitono temperato, possiamo scrivere:

f(do#)/f(do) = f(re)/f(do#) = …. = f(si)/f(sib) = f(do')/f(si) = x

Quindi, si ottiene:

Osserviamo subito che la scala delle frequenze è una progressione geometrica di ragione x .

Poiché: f(do2)/f(do) =2, si ottiene f(do2) = 2f(do)

Perciò, uguagliando le due relazioni trovate si ha:

x12 = 2 => x = 12√2 = 21/12 = 1,0594630943

che si può approssimare a 1,06.

Dunque, moltiplicare la frequenza di una nota per 21/12 corrisponde a salire di un semitono nella scala temperata.

Se si vuole, pertanto, conoscere quanti semitoni corrispondono ad un dato rapporto di frequenza rf sarà necessario risolvere l’equazione esponenziale:

(21/12)n = rf 

in cui n è il numero dei semitoni.

Da questa equazione si ricava n = log21/12 (rf)

Per esempio, se rf = 4√8 = 2 ¾ = 29/12, si ottiene subito n = log 21/12(2 9/12) = 9log 21/12(2 1/12) = 9  

Inoltre, a causa della proprietà loga x/y = loga x – loga y, la scala logaritmica trasforma i rapporti in differenze, così un ottava si traduce in un intervallo costante fra i logaritmi della frequenze:

log2 (f (do2) ) - log2 (f (do) ) = 1

log2 (f (re2) ) – log2 (f (re) ) = 1

log2 (f (la2) ) – log2 (f (la) ) = 1

E così via.

Se i logaritmi sono in base 2, il numero risultante dalla differenza dei logaritmi è l’intervallo tra le note espresso in ottave, perché 2 è il rf dell’ottava. Se i logaritmi sono, ad esempio, in base 2 1/12 allora il numero risultante è l’intervallo espresso in semitoni, perché 2 1/12  è il rf del semitono temperato:

log5 f (do2) / f (do1) = log5 2 = 12  e infatti tra do1 e do2 ci sono 12 semitoni.

Nel 1880 il musicologo inglese Alexander Ellis introdusse una suddivisione più piccola per valutare le piccole differenze di intonazione: il cent.

Il cent corrisponde ad un centesimo di semitono, ovvero la milleduecentesima parte di un’ottava. Anche il centesimo di un semitono è in scala logaritmica e, quindi, è una misura moltiplicativa e non additiva.

Il rapporto di frequenza rf che corrisponde ad 1 cent é

rf(cent) = 21/1200 = 1,00057779

La seguente tabella riporta tutti i valori in cent dei vari intervalli delle scale maggiori.

 

 

La seguente tabella, invece,  riporta tutti i valori in cent dei vari intervalli delle scale minori.

Calcolare il valore in cent può permettere, ad esempio, un confronto diretto con la scala temperata molto più di quanto lo permetta una frazione numerica o un rapporto con i decimali. Essendo il cent una misura logaritmica, è possibile calcolare un intervallo intermedio semplicemente sottraendo o sommando i valori di riferimento. Per esempio, nel caso dell’intervallo re-la il rapporto è:

5/3 : 9/8 = 40/27

Per calcolare il valore in cent è sufficiente sottrarre i valori in cent delle note interessate:

(884-204) cent = 680 cent.