I suoni esistenti in natura sono complessi,
ma scomponibili in una serie di suoni puri detti armonici. Gli armonici
sono generati spontaneamente dalle vibrazioni dei corpi elastici, (per
esempio, la corda degli strumenti musicali) e hanno frequenze che
variano tra 37Hz e 4685Hz.
Le note della scala
musicale ( do, re, mi, fa, sol, la, si), dunque, si distinguono l’una
dall’altra per la frequenza, ovvero il numero delle vibrazioni al
secondo che un corpo elastico (come la corda di una chitarra) può
emettere. In particolare, si parla di scala musicale perché, aumentando
il numero delle vibrazioni, i suoni diventano più acuti salendo in
altezza.
L’ottavo suono di una
scala musicale ha un numero di vibrazioni raddoppiato rispetto a quello
del primo suono: esso si chiama con lo stesso nome perché è lo stesso
suono, ma più acuto.
La distanza tra due
suoni musicali, costituita dalla differenza di numero delle loro
vibrazioni, si chiama intervallo, ed è misurata sulla tastiera con i
toni e i semitoni.
In passato veniva presa come riferimento
la scala naturale, dalla quale sono state ricavate 12 note: 7
appartengono alla scala maggiore, 5 suddividono i toni interi (un tono è
formato da due semitoni). La scala naturale si suddivide tra la
scala maggiore (naturale), cioè quella per cui tutti gli intervalli sono
giusti oppure maggiori (quella che conosciamo tutti:
do-re-mi-fa-sol-la-si-do), e la scala minore (naturale), cioè quella che
ha l'intervallo di seconda maggiore, e tutti gli altri giusti oppure
minori. Anche questa è ben nota: la-si-do-re-mi-fa-sol-la, o
do-re-mib-fa-sol-lab-sib-do.
Come soluzione alle stonature che presentava la scala naturale,
nel 1722 Johann Sebastian Bach, con l’opera “Il clavicembalo ben
temperato”, introdusse la scala temperata, nella quale le stonature
rientrano nei limiti della tollerabilità; questo nuovo sistema musicale
è diventato il modello della musica occidentale ed è utilizzato ancora
oggi.
Per ottenere 12 note equidistanti l’una
dall’altra è stato necessario suddividere l’ottava in 12 parti
esattamente uguali; il rapporto fra la frequenza di una nota e la
successiva è costante ed è detto semitono temperato. Indicando con x il
valore del semitono temperato, possiamo scrivere:
f(do#)/f(do)
= f(re)/f(do#) = …. = f(si)/f(sib) = f(do')/f(si)
= x
Quindi, si ottiene:
Osserviamo subito che la
scala delle frequenze è una progressione geometrica di ragione x .
Poiché: f(do2)/f(do)
=2, si ottiene f(do2) = 2f(do)
Perciò, uguagliando le
due relazioni trovate si ha:
x12 = 2 => x = 12√2 =
21/12 = 1,0594630943
che si può approssimare a 1,06.
Dunque, moltiplicare la
frequenza di una nota per 21/12 corrisponde a salire di un
semitono nella scala temperata.
Se si vuole, pertanto,
conoscere quanti semitoni corrispondono ad un dato rapporto di frequenza
rf sarà necessario risolvere l’equazione esponenziale:
(21/12)n
= rf
in cui n è il numero dei semitoni.
Da questa equazione si
ricava n = log21/12 (rf)
Per esempio, se rf
= 4√8 = 2 ¾ = 29/12, si ottiene subito
n = log 21/12(2 9/12) = 9log 21/12(2
1/12) = 9
Inoltre, a causa
della proprietà loga x/y = loga x – loga
y, la scala logaritmica trasforma i rapporti in differenze, così un
ottava si traduce in un intervallo costante fra i logaritmi della
frequenze:
log2 (f (do2) ) - log2
(f (do) ) = 1
log2 (f (re2) ) – log2
(f (re) ) = 1
log2
(f (la2) ) – log2 (f (la) ) = 1
E così via.
Se i
logaritmi sono in base 2, il numero risultante dalla differenza dei
logaritmi è l’intervallo tra le note espresso in ottave, perché 2 è il rf dell’ottava. Se i logaritmi sono, ad esempio, in base 2 1/12
allora il numero risultante è l’intervallo espresso in semitoni, perché
2 1/12 è il rf del semitono temperato:
log5
f (do2) / f (do1) = log5 2 = 12 e
infatti tra do1 e do2 ci sono 12 semitoni.
Nel 1880 il musicologo
inglese Alexander Ellis introdusse una suddivisione più piccola per
valutare le piccole differenze di intonazione: il cent.
Il cent
corrisponde ad un centesimo di semitono, ovvero la milleduecentesima
parte di un’ottava. Anche il centesimo di un semitono è in scala
logaritmica e, quindi, è una misura moltiplicativa e non additiva.
Il rapporto di frequenza
rf che corrisponde ad 1 cent é
rf(cent) =
21/1200 = 1,00057779
La
seguente tabella riporta tutti i valori in cent dei vari intervalli delle scale
maggiori.
La
seguente tabella, invece, riporta tutti i valori in cent dei vari intervalli delle scale
minori.
Calcolare il valore in cent può permettere, ad esempio, un confronto
diretto con la scala temperata molto più di quanto lo permetta una
frazione numerica o un rapporto con i decimali. Essendo il cent una
misura logaritmica, è possibile calcolare un intervallo intermedio
semplicemente sottraendo o sommando i valori di riferimento. Per
esempio, nel caso
dell’intervallo re-la il rapporto è:
5/3 : 9/8 = 40/27
Per calcolare il
valore in cent è sufficiente sottrarre i valori in cent delle note
interessate:
(884-204)
cent = 680 cent.
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