Il calcolo degli interessi è
uno dei temi dominanti del nostro secolo. Infatti, per poter ponderare
la convenienza di un investimento rispetto ad un altro è essenziale
conoscere i tassi di investimento e le tecniche di crescita degli
interessi.
L’interesse può essere definito come il compenso che spetta a colui che
presta una somma di denaro e dipende da tre fattori :
|
dall’ammontare del capitale prestato, |
|
dal
tasso di interesse,
|
|
dal
tempo di durata del prestito. |
Il tasso
di interesse è tanto più elevato quanto maggiore è il capitale dato in
prestito; perciò si può affermare che il capitale è funzione crescente
del tasso di interesse. Il calo, invece, di questo tasso è
caratterizzato dall’aumento delle richieste di capitali.
L’interesse può essere semplice o composto.
Nel caso
dell’interesse semplice, si devono rispettare due
condizioni:
|
il
calcolo non
può superare l’anno, |
|
gli
interessi maturati non vanno sommati al capitale per generare
interessi nuovi. |
Nel caso
dell’interesse composto, si richiedono,
invece, queste altre due condizioni :
|
il
calcolo deve superare l’anno; |
|
gli
interessi si sommano al capitale e generano a loro volta altri
interessi. |
Dopo queste premesse, se volessimo conoscere il capitale che maturerà al massimo dopo
un anno e se lo investissimo al tasso “i”, dovremmo ricorrere alla
formula della capitalizzazione semplice in cui gli interessi vengono
capitalizzati solo al termine del periodo considerato:
Ms = C (1 + it)
Riportiamo un
esempio. Ipotizziamo di
depositare un capitale di 1000€
in una
banca; supponiamo che il tasso di interesse che questa offre ai clienti
sia del 10 % annuo, per cui alla fine del primo anno l’interesse
accumulato valga 1000€ * 10% =100€.
Nel caso in cui
il cliente ipotetico ritiri tale somma, questa
andrà ad aggiungersi al capitale stesso che ammonterà così a 1100€ dopo un anno; su tale somma ricavata (il cosiddetto
montante) verrà calcolato l’interesse per l’anno successivo e così via
anno dopo anno.
Volendo
generalizzare tale procedura indichiamo con C il capitale
iniziale, con i il tasso di interesse annuo e con n
il numero di anni trascorsi. Possiamo riportare, quindi, alcuni calcoli che
riportiamo nella seguente tabella:
Da questi
calcoli possiamo giungere alla formulazione della “legge” del capitale
accumulato dopo n anni:
Ms=C(1+i)n
dove sono indicati con
Ms,
il montante semplice ovvero la somma del capitale iniziale investito
prestato più gli interessi finali; con
i,
il tasso di interesse annuo unitario e con t,
il tempo.
La legge
ottenuta presenta un andamento esponenziale in quanto posto 1+i = a
ed n = x si ritrova la nota forma y = Cax.
Ciò è ben
evidenziato nel grafico sottostante, in cui è preso in considerazione un
capitale iniziale C = 1000€ e un tasso i = 0,5% .
Per concludere, facciamo un
esempio. Supponiamo di depositare in banca una cifra di 1000€
e di voler ritirare la cifra raddoppiata supponendo che il tasso di
interesse sia del 10%. Applicando la formula precedentemente trovata, si
ottiene
2000=1000(1+0,1)n
ciò implica
2=(1,1)n
da cui
log2=n log1,1
che fornisce :
n
=(log2/log1,1) ---->7,3 anni
|