Perspicio, ergo expono

 
Lavoro di matematica svolto nell'ambito del progetto "Lauree scientifiche"
 
   
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La crescita bancaria
   

Il calcolo degli interessi è uno dei temi dominanti del nostro secolo. Infatti, per poter ponderare la convenienza di un investimento rispetto ad un altro è essenziale conoscere i tassi di investimento e le tecniche di crescita degli interessi.

L’interesse può essere definito come il compenso che spetta a colui che presta una somma di denaro e dipende da tre fattori :

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dall’ammontare del capitale prestato,

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dal tasso di interesse,               

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dal tempo di durata del prestito.

Il tasso di interesse è tanto più elevato quanto maggiore è il capitale dato in prestito; perciò si può affermare che il capitale è funzione crescente del tasso di interesse. Il calo, invece,  di questo tasso è caratterizzato dall’aumento delle richieste di capitali.

L’interesse può essere semplice o composto.

Nel caso dell’interesse semplice, si devono rispettare due condizioni:

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il calcolo non può superare l’anno,

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gli interessi maturati non vanno sommati al capitale per generare interessi nuovi.

Nel caso dell’interesse composto, si richiedono, invece, queste altre due condizioni :

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il calcolo deve superare l’anno;

punto elenco

gli interessi si sommano al capitale e generano a loro volta altri interessi.

Dopo queste premesse, se volessimo conoscere il capitale che maturerà al massimo dopo un anno e se lo investissimo al tasso “i”, dovremmo ricorrere alla formula della capitalizzazione semplice in cui gli interessi vengono capitalizzati solo al termine del periodo considerato:

 Ms = C (1 + it)

Riportiamo un esempio. Ipotizziamo di depositare un capitale di 1000€ in una banca; supponiamo che il tasso di interesse che questa offre ai clienti sia del 10 % annuo, per cui alla fine del primo anno l’interesse accumulato valga 1000€ * 10% =100€.

Nel caso in cui il cliente ipotetico  ritiri tale somma, questa andrà ad aggiungersi al capitale stesso che ammonterà così a 1100€ dopo  un anno; su tale somma ricavata (il cosiddetto montante) verrà calcolato l’interesse  per l’anno successivo e così via anno dopo anno.

Volendo generalizzare tale procedura indichiamo con C il capitale iniziale, con i il tasso di interesse annuo e con n il numero di anni trascorsi. Possiamo riportare, quindi, alcuni calcoli che riportiamo nella seguente tabella:

Da questi calcoli possiamo giungere alla formulazione della “legge” del capitale accumulato dopo n anni:

 Ms=C(1+i)n

dove sono indicati con Ms, il montante semplice ovvero la somma del capitale iniziale investito prestato più gli interessi finali; con i, il tasso di interesse annuo unitario e con t, il tempo.

La legge ottenuta presenta un andamento esponenziale in quanto posto 1+i = a ed n = x  si ritrova la nota forma y = Cax.

Ciò è ben evidenziato nel grafico sottostante, in cui è preso in considerazione un capitale iniziale C = 1000€ e un tasso i = 0,5% .

 

Per concludere, facciamo un esempio. Supponiamo di depositare in banca una cifra di 1000 e di voler ritirare la cifra raddoppiata supponendo che il tasso di interesse sia del 10%. Applicando la formula precedentemente trovata, si ottiene

2000=1000(1+0,1)n

ciò implica

2=(1,1)n

da cui

log2=n log1,1

che fornisce :

 n =(log2/log1,1) ---->7,3 anni