Onde stazionarie

 

Le onde stazionarie sono un particolare fenomeno interferenziale; sono chiamate stazionarie perché non sono dovute a una sola onda, ma ad un sistema realizzato attraverso due onde armoniche che hanno la stessa ampiezza e la stessa frequenza e si propagano in versi opposti. A seguito di un’onda stazionaria non si ha alcuna perturbazione che possa propagarsi in qualche direzione, dato che in un’onda esiste sempre una condizione di moto per cui le particelle del mezzo non sono ferme. Ogni punto dell’onda, infatti, oscilla con una particolare ampiezza secondo vibrazioni longitudinali e trasversali senza alcun trasporto di energia.

Esempi di onde stazionarie sono quelle che si propagano nelle corde di una chitarra, nelle molle, nell’aria contenuta nei tubi sonori come le canne d’organo.

 

Corda fissata a due estremità

 

Consideriamo una corda tesa fissata ai due estremi.

Se sollecitiamo per un istante la corda in un suo punto e poi la lasciamo libera, lungo di essa si stabiliscono dei particolari moti che le possono fare assumere una delle configurazioni rappresentate nella figura sottostante.

 

 

La figura a rappresenta una corda pizzicata nel suo punto medio, il quale è un ventre di vibrazione, mentre gli estremi sono due nodi. Se il punto medio si mantiene fisso e la corda è pizzicata in un punto distante 1/4 della sua lunghezza, tale corda avrà tre nodi e due ventri come nella figura b. Notiamo invece, che se è tenuto fisso un punto che dista 1/3 della lunghezza della corda da un estremo, ed essa viene pizzicata in un punto distante da un estremo 1/6 della lunghezza complessiva, si otterranno 3 ventri e 4 nodi come è visibile in figura c. Utilizzando la stessa procedura vediamo come ventri e nodi aumentano: ad esempio in figura d sono evidenziati 5 nodi e 4 ventri.  Riferendoci al caso in cui la corda è pizzicata nel punto medio, supponiamo che il periodo di vibrazione sia 4s e analizziamo la posizione assunta dalla corda in alcuni istanti. Dopo 1s la corda passa per la sua posizione di equilibrio, dopo 2s essa assume la posizione opposta a quella iniziale, dopo 3s ripassa per la posizione di equilibrio per ritornare infine in quella iniziale dopo 4s, ovvero un periodo. Da quest’istante in poi il moto continua con la stessa modalità.

In tutte le figure sono visibili la posizione iniziale della corda e quella assunta dopo mezzo periodo, così da poter osservare che tutti i punti tra due nodi vibrano in concordanza di fase e che l’ampiezza varia da punto a punto essendo massima nel ventre e diminuendo con continuità fino ad annullarsi nel tratto dai ventre ai nodi.

Alle onde stazionarie che si producono nella corda sono associate diverse lunghezze d’onda e quindi diverse frequenze. In particolare, sempre riferendoci alle figure sopra illustrate, se indichiamo con L la lunghezza della corda notiamo che la lunghezza d’onda è

a) λ₁= 2L                 

b) λ₂= L

c) λ₃= 2/3 L

d) λ₄= L/2

mentre la frequenza è:

a) v1= v/2L

b) v₂= v/L

c) v₃= 3v/2L

d) v₄= 2v/L             

dove v è la velocità dell’onda sulla corda.

Essendo n un numero intero possiamo ottenere le varie frequenze con la formula v_n = n v/2L, tali frequenze sono chiamate frequenze di risonanza. La più piccola di esse, cioè v₁ = v/2L, è chiamata frequenza fondamentale o prima armonica, mentre le successive sono rispettivamente dette seconda,terza,quarta,...armonica. Notiamo, quindi, che una corda può vibrare con varie frequenze.

Le onde stazionarie sono dovute al fatto che per ogni onda che si propaga lungo la corda in un verso, si ha, dopo la riflessione da parte dell'estremo fisso, un'onda riflessa ancora armonica, che si propaga in verso opposto, con la stessa frequenza e la stessa ampiezza dell'onda incidente.

 

Corda fissata ad una estremità

 

Si possono ottenere onde stazionarie anche in una corda con un’ estremità fissa e l’altra libera. In questo caso il ventre di vibrazione è l’estremità libera mentre il nodo è l’estremità fissa.

 

Se si fa vibrare la corda tesa su una tavola si otterrà una deformazione ossia un'onda che si propagherà lungo il corpo in orizzontale.

Ogni singolo tratto di corda si muove, dopo lo strattone ricevuto, in su e in giù ripetendo quindi il moto che la mano ha impresso al ventre di vibrazione.

La corda è il mezzo materiale in cui si propaga l'onda e dove c’è trasporto di energia (ma non di materia), mentre la mano è la sorgente o la causa dell’onda.

Inoltre, dato lo spostamento degli elementi del mezzo materiale in modo perpendicolare rispetto al moto dell’onda essa può essere definita trasversale.

Prendiamo sempre in considerazione ogni elemento del mezzo materiale e notiamo come ciascuno ripeta lo stesso movimento della mano a intervalli regolari; per tale caratteristica l’onda è definita periodica.

 

Osservando tale tipo di onda  possiamo distinguere durante l’oscillazione un punto più alto, chiamato cresta, e un punto più basso chiamato valle o avvallamento.

La distanza tra due creste o due valli è detta lunghezza d’onda λ: essa indica la minima distanza dopo la quale un’onda periodica torna a riprodursi identica a se stessa.

L’altezza della curva rispetto al livello d’equilibrio è chiamata ampiezza; essa descrive la differenza tra il valore massimo della grandezza e il valore dell’equilibrio.

Il numero di creste che passano per un determinato punto nell’unità di tempo è chiamato frequenza.

Alle onde stazionarie che si producono nella corda sono associate diverse lunghezze d’onda e quindi diverse frequenze.

Se indichiamo con L la lunghezza della corda si può trovare  che la lunghezza d’onda è genericamente

λ_n= 4L/(2n-1) con n=1, 2, 3, ...,

a cui corrisponde un valore di frequenza

v_n= (2n-1)v/4L           

dove v è la velocità dell’onda sulla corda.