Quando la Luna è in quadratura, ossia è illuminata per metà, essa, con la Terra e il Sole, forma il triangolo rettangolo mostrato in figura.

 

 

Misurando in tale condizione l'angolo β compreso tra la direzione Terra-Sole e la direzione Terra-Luna Aristarco vide che era possibile calcolare il rapporto tra le loro distanze mediante ragionamenti di tipo geometrico.

Cerchiamo di capire il ragionamento di Aristarco.

A tal fine supponiamo che il diametro dell'ombra della Luna corrisponda a quello della Terra (in realtà è un po' minore), per cui  il diametro della Luna dovrebbe essere la metà del diametro terrestre. Aristarco cercò di osservare il momento esatto in cui metà della Luna era illuminata dal Sole. Perché questo avvenga occorre che l'angolo Terra-Luna-Sole sia esattamente 90 gradi. Conoscendo il moto del Sole lungo la sfera celeste, Aristarco fu anche in grado di individuare il punto P del cielo, sull'orbita lunare (vicino all'eclittica), che era esattamente a 90 gradi dalla direzione del Sole come visto dalla  Terra.

 

 

Aristarco sapeva, infatti, che, se il Sole era molto lontano, la Luna al primo (o all'ultimo) quarto sarebbe stata anch'essa su questa linea. Aristarco stimò tuttavia che la direzione verso il quarto di Luna formasse un piccolo angolo α con la direzione verso P, circa 1/30 di angolo retto, cioè 3°. Anche geometricamente si osserva che  l'angolo TSL (Terra-Sole-Luna) è uguale a 3°.

Se Rs è la distanza della Terra dal Sole e R_L quella dalla Luna, una circonferenza completa intorno al Sole alla distanza dalla Terra avrebbe una lunghezza di 2πRs (π = 3,14159...). La distanza R_L = TL è quindi pari a un arco di quella circonferenza, corrispondente a soli 3° cioè 1/120 della circonferenza completa. Ne segue che

 

  LT/ST ~ sen 3°

 

Ma sen3°~1/19, per cui ST~19 LT  (In realtà, oggi sappiamo che ST~ 388 LT)

Poichè 0 ‹ α ‹ β ‹ π /2 , segue che

 

sen α ‹ α ‹ tg α e  sen β ‹ β ‹ tg  β

per cui

sen α /sen β › α / β › tg α /tg β

 

Poiché Aristarco sa che il Sole e la Luna si vedono dalla Terra sotto lo stesso angolo (circa 30°) , deduce che

 

Rs ~ 19 R_L

 

Infine, egli dimostra che 

19/60 ‹ R_L/R_T ‹ 43/108

19 /3 ‹ R_S/R_T ‹ 43/6

 

Le misure di Aristarco furono imprecise. L’angolo α, anziché essere di 3°, è in realtà così piccolo (circa 20 volte più piccolo) che Aristarco non poteva essere in grado di valutarlo, specialmente senza un telescopio. L'effettiva distanza del Sole è così circa 400 volte quella della Luna, non 19 volte, e quindi il diametro del Sole è circa 400 volte quello della Luna e più di 100 volte quello terrestre. La conclusione principale, però,  che il Sole è enormemente più grande della Terra, è tuttora valida. Aristarco poteva anche dire che l'angolo α era al massimo 3°, nel qual caso il Sole sarebbe stato come minimo 19 volte più lontano della Luna, e il suo diametro come minimo 19/3 volte quello della Terra. In realtà egli disse così, ma sostenne anche che era minore di 43/6 volte quello terrestre (i Greci usavano le frazioni semplici, poiché non conoscevano i decimali), e questo valore si rivelò completamente errato, essendo il Sole molto più grande della Terra.

Aristarco per misurare gli angoli ebbe bisogno di un particolare strumento, oggi conosciuto con il nome di diottra di Ipparco.

 

 

Probabilmente fu proprio tale diottra a suggerirgli l’idea di sostituire all’angolo l’arco.

 

 

Il problema risolto da Aristarco, di calcolare il rapporto tra i cateti di un triangolo del quale si conoscono gli angoli, è quello di calcolare, o stimare, la tangente trigonometrica di un angolo. L'opera di Aristarco può pertanto essere considerata una delle prime opere di trigonometria. Il metodo di Aristarco permette, comunque, di stimare dall'alto e dal basso la tangente di qualsiasi angolo e in questo è probabilmente il maggior valore della sua opera.