Una figura di Lissajous è il grafico di una curva data dal sistema di equazioni parametriche:

dove A_i sono le ampiezze, ω_i le pulsazioni e  φ_i le fasi di due moti oscillatori ortogonali.

L’aspetto di queste figure è molto sensibile al rapporto ω_x/ω_y.

Consideriamo il caso in cui tale rapporto sia pari ad uno,  A_x≠A_y, ω_x= ω_y, φ_x=0, φ_y=0: in tale situazione la figura risulta essere un'ellisse. Infatti, consideriamo il sistema di equazioni:

Risolvendo, si ottiene:

Quadrando entrambi i membri delle due equazioni, si ha:

Sommando membro a membro, si trova:

Ricordando la relazione fondamentale della trigonometria, si ottiene la curva di equazione

che rappresenta un'ellisse con centro nell'origine e fuochi sull'asse delle ascisse, come si può notare nella figura sottostante:

La figura di Lissajous diventa una circonferenza nel caso in cui non solo il rapporto ω_x/ω_y sia uguale a uno, ma sia anche  A_x = A_y, φ_x = 0 e φ_y = 0.  Per esempio, consideriamo il seguente sistema di equazioni:

Risolvendo, si ottiene:

Quadrando entrambi i membri delle due equazioni, si ha:

Sommando membro a membro, si ottiene:

Ricordando la relazione fondamentale della trigonometria, si ottiene la curva di equazione

che rappresenta una circonferenza con centro nell'origine e raggio 2 come si può notare nella figura sottostante:

Una figura di Lissajous si riduce ad un segmento nel caso in cui sia  φ_x=π/2, φ_y=0. Per esempio, consideriamo il sistema di equazioni:

Risolvendo il sistema, si ottiene con semplici passaggi:

che rappresenta l'equazione di una retta come si può notare nella figura sottostante:

Un'altra figura di Lissajous è la parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse x, che si ottiene quando ω_x/ω_y = 2,  φ_x=π, φ_y=0. Per esempio, consideriamo il sistema di equazioni:

Con questi semplici calcoli:

si ottiene l'equazione di una parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse delle ascisse, come è visibile nella figura sottostante:

Una parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse y  si ottiene nel caso in cui ω_x/ω_y = 1/2,  φ_x=0, φ_y=π/2. Per esempio, consideriamo il sistema di equazioni:

Facendo semplici calcoli, si ottiene:

che è l'equazione di una parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse delle ordinate, come si può notare nella figura sottostante:

Altri valori del rapporto ω_x/ω_y producono curve più complicate, che sono chiuse solo se tale rapporto è un numero decimale finito. La forma di queste curve spesso ricorda un nodo tridimensionale, e in effetti molti tipi di nodi, quando vengono proiettati su un piano, diventano figure di Lissajous.

Facciamo ora alcuni esempi di figure di Lissajous con φ_x = π/2 e φ_y=0.

Consideriamo il seguente sistema di equazioni, dove ω_x/ω_y=3/2:

Il grafico corrispondente è il seguente:

che, come si può notare è un nodo chiuso.

Consideriamo, ora, il seguente sistema di equazioni, dove ω_x/ω_y=7/3:

Il grafico corrispondente è il seguente:

Come si può notare, il nodo ottenuto è aperto.